Question

【題目】如圖，平面平面，，四邊形為平行四邊形，，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足.

（Ⅰ）求證：直線平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)見證明； (3)

【解析】

（Ⅰ）連接，交于點(diǎn)，利用平幾知識得線線平行，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論，（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直進(jìn)行論證線線垂直，再根據(jù)線面垂直判定定理以及面面垂直垂直判定定理得結(jié)果，（Ⅲ）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面垂直得兩平面法向量垂直，進(jìn)而得P點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用空間向量數(shù)量積求線面角.

（Ⅰ）證明：連接，交于點(diǎn)，連接

在平行四邊形中，因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>，即，

所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以直線平面.

（Ⅱ）證明：因?yàn)?/span>，為線段的中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)槠矫?/span>平面于，平面所以平面

在平行四邊形中，因?yàn)?/span>，所以

以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則

因?yàn)?/span>平面所以設(shè)，

則

所以

所以，又因?yàn)?/span>

所以平面，又因?yàn)?/span>平面

所以平面平面.

（Ⅲ）解：因?yàn)?/span>

設(shè)為平面的一個法向量

則不妨設(shè)

因?yàn)?/span>

設(shè)為平面的一個法向量

則不妨設(shè)

因?yàn)槠矫?/span>平面，所以，所以

因?yàn)?/span>

所以

所以，

所以

所以直線與平面所成角的正弦值為.