Question

【題目】如圖所示，在直角梯形中，，，，，，兩點(diǎn)分別在線段，上運(yùn)動(dòng)，且.將三角形沿折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且平面平面.

（1）判斷直線與平面的位置關(guān)系并證明；

（2）證明：的長(zhǎng)度最短時(shí)，，分別為和的中點(diǎn)；

（3）當(dāng)的長(zhǎng)度最短時(shí)，求平面與平面所成角（銳角）的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）與平面平行，證明詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

(1)分別在平面D1AE和平面BCE內(nèi)，作MG//AE,交D1E于點(diǎn)G, NH//BC,交CE于點(diǎn)H,連接GH,則MG//NH.推導(dǎo)出四邊形MNHG是平行四邊形, 從而MN// GH.由此能求出MN與平面D1 CE平行；

(2) 推導(dǎo)出,從而當(dāng)時(shí)，, 此時(shí)M，N分別是A D1和BE的中點(diǎn)；

（3）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EA, EC, ED，所在直線為x, y, z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面D1MN與平面EMN所成角(銳角)的余弦值.

（1）與平面平行.

證明如下：分別在平面和平面內(nèi)作交于點(diǎn)，

交于點(diǎn)，

連接,

∵，

∴.

設(shè)，

在中，，

則，

∴，

同理可求，

∴，

即四邊形是平行四邊形.

∴.

∵，，

∴平面.

（2）證明：∵平面平面，，

∴，

在中，，，

∴.

當(dāng)時(shí)，.此時(shí)、分別是和的中點(diǎn).

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由題意知，，，，，，，.

∴，，

∴，，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

由可得.取，可得.

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

由可得.取，可得.

∴，

∴平面與平面所成角（銳角）的余弦值.