【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 已知a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*).
(1)設(shè)bn=an+1﹣2an , 證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列(要指出首項、公比);
(2)若cn=nbn , 求數(shù)列{cn}的前n項和Tn .
【答案】
(1)證明:∵Sn+1=4an+2,∴當(dāng)n≥2時,Sn=4an﹣1+2,
兩式相減得:an+1=4an﹣4an﹣1,
∴ ,
∵當(dāng)n=1時,S2=4a1+2,a1=1,∴a2=5,從而b1=3,
∴數(shù)列{bn}是以b1=3為首項,2為公比的等比數(shù)列;
(2)解:由(1)知 ,從而 ,
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn﹣1+cn=3×20+6×21+9×22+…+3(n﹣1)×2n﹣2+3n×2n﹣1,
2Tn=3×21+6×22+9×23+…+3(n﹣1)×2n﹣1+3n×2n,
兩式相減得: = ,
∴ .
【解析】(1)由已知數(shù)列遞推式可得當(dāng)n≥2時,Sn=4an﹣1+2,與原遞推式聯(lián)立可得an+1=4an﹣4an﹣1 , 然后利用定義證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(2)由數(shù)列{bn}的通項公式求出數(shù)列{cn}的通項公式,再由錯位相減法求數(shù)列{cn}的前n項和Tn .
【考點精析】通過靈活運用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式即可以解答此題.
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【題目】在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且 =﹣ .
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=2,S△ABC= ,求b的值.
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【題目】已知f(x)=ex , g(x)=x+1.
(1)證明:f(x)≥g(x);
(2)求y=f(x),y=g(x)與x=﹣1所圍成的封閉圖形的面積.
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【題目】設(shè)f(x)=esinx+e﹣sinx(x∈R),則下列說法不正確的是( )
A.f(x)為R上偶函數(shù)
B.π為f(x)的一個周期
C.π為f(x)的一個極小值點
D.f(x)在區(qū)間 上單調(diào)遞減
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【題目】已知函數(shù) (0<x<π),g(x)=(x﹣1)lnx+m(m∈R)
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求證:1是g(x)的唯一極小值點;
(Ⅲ)若存在a,b∈(0,π),滿足f(a)=g(b),求m的取值范圍.(只需寫出結(jié)論)
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【題目】一次函數(shù)g(x)滿足g[g(x)]=9x+8,則g(x)是( )
A.g(x)=9x+8
B.g(x)=3x+8
C.g(x)=﹣3x﹣4
D.g(x)=3x+2或g(x)=﹣3x﹣4
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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)= .
(1)求x<0時,f(x)的解析式;
(2)畫出函數(shù)f(x)在R上的圖象;
(3)結(jié)合圖象寫出f(x)的值域.
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【題目】在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對的邊,角C是鈍角,且sinB= . (Ⅰ)求角C的值;
(Ⅱ)若b=2,△ABC的面積為 ,求c的值.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.
(1)求PB和平面PAD所成的角的大;
(2)證明:AE⊥平面PCD;
(3)求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值.
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