已知橢圓C1和動(dòng)圓C2,直線與C1和C2分別有唯一的公共點(diǎn)A和B.
(I)求的取值范圍;
(II )求|AB|的最大值,并求此時(shí)圓C2的方程.

(Ⅰ)[1,2)(Ⅱ)1,x2+y2=2

解析試題分析:(Ⅰ)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去整理成關(guān)于的一元二次方程,因?yàn)橹本與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),則判別式為0,列出關(guān)于m,k的方程,再由直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)知,直線與圓相切,利用圓心到直線的距離等于半徑找出r,m,k關(guān)系,將這兩個(gè)關(guān)于m,k的方程聯(lián)立,消去m,將r表示成k的函數(shù),利用函數(shù)求值域的方法,求出r范圍;(Ⅱ)由(Ⅰ)可求得A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo),利用弦長(zhǎng)公式將AB用r表示出來(lái),利用函數(shù)求最值的方法,求出|AB|的最大值及取最大值時(shí)的r值,從而寫(xiě)出圓的方程.
試題解析:(Ⅰ)由,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0.
由于l與C1有唯一的公共點(diǎn)A,故△1=64k2m2﹣16(1+4k2)(m2﹣1)=0,  2分
從而m2=1+4k2
,得(1+k2)x2+2kmx+m2﹣r2=0.
由于l與C2有唯一的公共點(diǎn)B,故△2=4k2m2﹣4(1+k2)(m2﹣r2)=0,  4分
從而m2=r2(1+k2) ②
由①、②得k2=
由k2≥0,得1≤r2<4,所以r的取值范圍是[1,2).  6分
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由(Ⅰ)的解答可知
x1=﹣=﹣,x2=﹣=﹣
|AB|2=(1+k2)(x2﹣x12=(1+k2)•=•k2•(4﹣r22
=•(4﹣r22=,  9分
所以|AB|2=5﹣(r2+)(1≤r<2).
因?yàn)閞2+≥2×2=4,當(dāng)且僅當(dāng)r=時(shí)取等號(hào),
所以當(dāng)r=時(shí),|AB|取最大值1,此時(shí)C2的方程為x2+y2=2.  12分
考點(diǎn):直線與橢圓的位置關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系,最值問(wèn)題,轉(zhuǎn)化與化歸思想,運(yùn)算求解能力

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知拋物線C:y2=2x,O為坐標(biāo)原點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),P為拋物線C上一點(diǎn).
(Ⅰ)若直線l垂直于x軸,求||的值;
(Ⅱ)求三角形OAB的面積S的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

定義:我們把橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度之比即,叫做橢圓的離心率.若兩個(gè)橢圓的離心率相同,稱這兩個(gè)橢圓相似.
(1)判斷橢圓與橢圓是否相似?并說(shuō)明理由;
(2)若橢圓與橢圓相似,求的值;
(3)設(shè)動(dòng)直線與(2)中的橢圓交于兩點(diǎn),試探究:在橢圓上是否存在異于的定點(diǎn),使得直線的斜率之積為定值?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C,連結(jié).
(1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為,且,求橢圓的方程;
(2)若求橢圓離心率e的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓C:=1(a>0,b>0)的離心率與雙曲線=1的一條漸近線的斜率相等以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線sin·x+cos·y-l=0相切(為常數(shù)).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)M(3,0)的直線與橢圓C相交TA,B兩點(diǎn),設(shè)P為橢圓上一點(diǎn),且滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)t取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

已知直線axy+2=0與雙曲線的一條漸近線平行,則這兩條平行直線之間的距離是       

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題


設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同,
離心率為,則此橢圓的方程為_▲__

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖所示,雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn),雙曲線的左支上有一點(diǎn)P,∠F1PF2,且△PF1F2的面積為2,雙曲線的離心率為2,求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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同步練習(xí)冊(cè)答案