Question

【題目】如圖，等腰梯形中， ， 于點， ，且．沿把折起到的位置（如圖），使．

（I）求證： 平面．

（II）求三棱錐的體積．

（III）線段上是否存在點，使得平面，若存在，指出點的位置并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）；（III）存在， 為中點.

【解析】試題分析：（Ⅰ）推導(dǎo)出⊥AD，AB⊥．從而⊥面ABCD．進而⊥CD，再求出AC⊥CD．由此能證明CD⊥平面．

（Ⅱ）由VA-P'BC=VP'-ABC，能求出三棱錐A-P'BC的體積．

（Ⅲ）取P'A中點M，P'D中點N，連結(jié)BM，MN，NC，推導(dǎo)出四邊形BCNM為平行四邊形，由此能求出存在一點M，M為的中點，使得BM∥面CD．

試題解析：（I）∵，故，

∵在等腰梯形中， ，

∴在四棱錐中， ，

又∵，

∴平面，

∵平面，

∴，

∵等腰梯形中，

， ，

且，

∴， ， ，

∴，

∴，

∵，

∴平面．

（II），

∵平面，

∴，

．

（III）存在點， 為中點，使得平面，

證明：取， 中點為， ，

連接， ， ，

∵， 是， 中點，

∴，

∵，

∴，

∴是平行四邊形，

∴，

∵面，

面，

∴平面．