Question

(1)m為何值時，f(x)＝x²＋2mx＋3m＋4.
①有且僅有一個零點(diǎn)；②有兩個零點(diǎn)且均比－1大；
(2)若函數(shù)f(x)＝|4x－x²|＋a有4個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

(1) ① m＝4或m＝－1；②(－5，－1)；(2) (－4,0)．

解析試題分析：(1) ①由函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的關(guān)系可知函數(shù)f(x)＝x²＋2mx＋3m＋4有且僅有一個零點(diǎn)，等價于方程f(x)＝0有兩個相等實(shí)根，而此方程是關(guān)于x的一元二次方程，所以其判別式Δ＝0，從而可求得m的值；②函數(shù)f(x)＝x²＋2mx＋3m＋4有兩個零點(diǎn)且均比－1大，結(jié)合二次函數(shù)圖象可知首先其判別式應(yīng)大于零，同時其對稱軸應(yīng)在-1的右側(cè)，并且函數(shù)在-1的函數(shù)值大于零；從而獲得一個關(guān)于m的不等式組，解此不等式組即可求得m的取值范圍；(2) 函數(shù)f(x)＝|4x－x²|＋a有4個零點(diǎn)等價于|4x－x²|＝－a，也即函數(shù)g(x)＝|4x－x²|的圖象與直線y＝－a有四個不同的交點(diǎn)，作出圖象即可求出a的取值范圍.
試題解析：(1)①f(x)＝x²＋2mx＋3m＋4有且僅有一個零點(diǎn)，即方程f(x)＝0有兩個相等實(shí)根，亦即Δ＝0，即4m²－4(3m＋4)＝0，即m²－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.
②由題意，知
即
∴－5<m<－1.
∴m的取值范圍為(－5，－1)．
(2)令f(x)＝0，得|4x－x²|＋a＝0，
即|4x－x²|＝－a.
令g(x)＝|4x－x²|，h(x)＝－a.
作出g(x)、h(x)的圖象．

由圖象可知，當(dāng)0<－a<4，即－4<a<0時，g(x)與h(x)的圖象有4個交點(diǎn)，即f(x)有4個零點(diǎn)．故a的取值范圍為(－4,0)．
考點(diǎn)：1.函數(shù)零點(diǎn)的概念；2.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根及函數(shù)圖象交點(diǎn)之間的關(guān)系.