【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).
(1)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點;
(2)若x∈[0,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍.
【答案】(1)見解析;
(2).
【解析】
(1)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后,設(shè)為進行再次求導(dǎo),可判斷出當(dāng)時,,當(dāng)時,,從而得到單調(diào)性,由零點存在定理可判斷出唯一零點所處的位置,證得結(jié)論;(2)構(gòu)造函數(shù),通過二次求導(dǎo)可判斷出,;分別在,,和的情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷單調(diào)性,從而確定恒成立時的取值范圍.
(1)
令,則
當(dāng)時,令,解得:
當(dāng)時,;當(dāng)時,
在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減
又,,
即當(dāng)時,,此時無零點,即無零點
,使得
又在上單調(diào)遞減 為,即在上的唯一零點
綜上所述:在區(qū)間存在唯一零點
(2)若時,,即恒成立
令
由(1)可知,在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減
且,,
,
①當(dāng)時,,即在上恒成立
在上單調(diào)遞增
,即,此時恒成立
②當(dāng)時,,,
,使得
在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
又,
在上恒成立,即恒成立
③當(dāng)時,,
,使得
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
時,,可知不恒成立
④當(dāng)時,
在上單調(diào)遞減
可知不恒成立
綜上所述:
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四色猜想是世界三大數(shù)學(xué)猜想之一,1976年數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯證明,稱為四色定理.其內(nèi)容是:“任意一張平面地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家涂上不同的顏色.”用數(shù)學(xué)語言表示為“將平面任意地細(xì)分為不相重疊的區(qū)域,每一個區(qū)域總可以用,,,四個數(shù)字之一標(biāo)記,而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字.”如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗實線圍城的各區(qū)域上分別標(biāo)有數(shù)字,,,的四色地圖符合四色定理,區(qū)域和區(qū)域標(biāo)記的數(shù)字丟失.若在該四色地圖上隨機取一點,則恰好取在標(biāo)記為的區(qū)域的概率所有可能值中,最大的是( )
A. B. C. D.
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【題目】關(guān)于函數(shù),.有下列命題:
①對,恒有成立.
②,使得成立.
③“若,則有且.”的否命題.
④“若且,則有.”的逆否命題.
其中,真命題有_____________.(只需填序號)
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【題目】據(jù)史載知,新華網(wǎng):北京2008年11月9日電,國務(wù)院總理溫家寶主持召開國務(wù)院常務(wù)會議,研究部署進一步擴大內(nèi)需促進經(jīng)濟平穩(wěn)較快增長的措施,以應(yīng)對日趨嚴(yán)峻的全球性世界經(jīng)濟金融危機.在提高城鄉(xiāng)居民特別是低收入人群的收入水平政策措施的刺激下,某零售店當(dāng)時近5個月的銷售額和利潤額數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表:
月份 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
銷售額/千萬元 | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
利潤額/千萬元 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
(1)若與之間是線性相關(guān)關(guān)系,求利潤額關(guān)于銷售額的線性回歸方程;
(2)若9月份的銷售額為8千萬元,試?yán)茫?/span>1)的結(jié)論估計該零售店9月份的利潤額.
參考公式:,.
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【題目】如圖,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點.
(1)證明:MN∥平面C1DE;
(2)求點C到平面C1DE的距離.
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【題目】古希臘時期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是(≈0.618,稱為黃金分割比例),著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例,且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26 cm,則其身高可能是
A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm
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【題目】已知,,.
(1)若,求的值;
(2)當(dāng),,且有最小值時,求的值;
(3)當(dāng),時,有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況,隨機調(diào)查了100個企業(yè),得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.
的分組 | |||||
企業(yè)數(shù) | 2 | 24 | 53 | 14 | 7 |
(1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例;
(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).(精確到0.01)
附:.
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,記在區(qū)間的最大值為,最小值為,求的取值范圍.
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