Question

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)，曲線的極坐標(biāo)方程為（其中為常數(shù)）.
（1）若曲線與曲線只有一個公共點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）當(dāng)時，求曲線上的點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)的最小距離.

Answer 1

（1）或；（2）.

試題分析：本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想.第一問，把參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用數(shù)形結(jié)合解題；第二問，考查點(diǎn)到直線的距離公式，利用配方法求最小值.
試題解析：(1)曲線可化為，，
曲線可化為，
若曲線，只有一個公共點(diǎn)，
則當(dāng)直線過點(diǎn)時滿足要求，此時，
并且向左下方平行運(yùn)動直到過點(diǎn)之前總是保持只有一個公共點(diǎn)，
當(dāng)直線N過點(diǎn)時，此時，
所以滿足要求；
再接著從過點(diǎn)開始向左下方平行運(yùn)動直到相切之前總有兩個公共點(diǎn)，相切時仍然只有一個公共點(diǎn)，聯(lián)立，得，
，解得，
綜上可求得的取值范圍是或.（5分）
（2）當(dāng)時，直線，
設(shè)上的點(diǎn)為，，
則曲線上的點(diǎn)到直線的距離為，
當(dāng)時取等號，滿足，所以所求的最小距離為.(10分)