Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-mx+m-1．m∈R                                                
（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上的最小值為g（m），求g（m）的解析式；                       
（2）求（1）中g(shù)（m）的最大值；
（3）若函數(shù)y=|f（x）|在[2，4]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過對(duì)m的討論求出各個(gè)區(qū)間上g（m）的表達(dá)式，（2）由g（m）的表達(dá)式和m的取值范圍求出即可．（3）由題意列出不等式組解出即可．

解答： 解：（1）由題意得：對(duì)稱軸x=-

-m

2

=

m

2

，
①當(dāng)x=

m

2

≤-1，即m≤-2時(shí)，
g（m）=f（x）_最小=f（-1）=1+m+m-1=2m；
②-1＜

m

2

＜1，即-2＜m＜2時(shí)，
g（m）=f（x）_最小=f（

m

2

）=(

m

2

)2-m•

m

2

+m-1=-

m2

4

+m-1；
③當(dāng)

m

2

≥1，即m≥2時(shí)，
g（m）=f（x）_最小=f（1）=1-m+m-1=0；
綜合①②③得：
g（m）=

2m，               (m≤-2) - m2 4 +m-1，(-2＜m＜2) 0，                  (m≥2)

．
（2）當(dāng)m≤-2時(shí)，g（m）_最大=-4，
當(dāng)-2＜m＜2時(shí)，g（m）=-

1

4

（m-2）²＜0，無最大值；
當(dāng)m≥2時(shí)，g（m）=0，
∴g（m）的最大值是：0．
（3）由題意得：

f(2)≥0 m 2 ＜2

，
解得：m≤3．
或

m 2 ≥4 f(2)≤0 f(4)＜0

，解得：m≥8．
∴m的范圍是：（-∞，3]∪[8，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的最值問題，滲透了分類討論思想，是一道中檔題．