【題目】如圖所示在四棱錐平面平面,底面是正方形, .

(Ⅰ)證明:平面平面;

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:

()利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面.據(jù)此有,結(jié)合可得平面.最后利用面面垂直的判定定理可得平面平面.

()的中點(diǎn)為 的中點(diǎn)為,連接,的方向分別為軸, 軸, 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為,平面的一個(gè)法向量為,據(jù)此計(jì)算可得二面角的余弦值為.

2:若以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo),則面的法向量的法向量,計(jì)算可得為鈍角,則余弦值為.

試題解析:

Ⅰ)證明:∵底面為正方形,∴.

又∵平面平面,平面.

又∵平面,.

,平面.

平面,∴平面平面.

Ⅱ)取的中點(diǎn)為 的中點(diǎn)為,連接

易得底面,

為原點(diǎn),以的方向分別為軸, 軸, 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,可得, ,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

由圖知所求二面角為鈍角

故二面角的余弦值為.

2:若以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo),如圖,

不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2

可得面的法向量

的法向量

由圖可得為鈍角

∴余弦值為.

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