【題目】如圖所示,在四棱錐中,平面平面,底面是正方形,且, .
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ).
【解析】試題分析:
(Ⅰ)利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面.據(jù)此有,結(jié)合可得平面.最后利用面面垂直的判定定理可得平面平面.
(Ⅱ)取的中點(diǎn)為, 的中點(diǎn)為,連接,以的方向分別為軸, 軸, 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為,平面的一個(gè)法向量為,據(jù)此計(jì)算可得二面角的余弦值為.
法2:若以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo),則面的法向量面的法向量,計(jì)算可得為鈍角,則余弦值為.
試題解析:
(Ⅰ)證明:∵底面為正方形,∴.
又∵平面平面,∴平面.
又∵平面,∴.
∵, ,∴平面.
∵平面,∴平面平面.
(Ⅱ)取的中點(diǎn)為, 的中點(diǎn)為,連接
易得底面,
以為原點(diǎn),以的方向分別為軸, 軸, 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,可得, , ,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
而,
即
取得
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
而,
則即取得
由圖知所求二面角為鈍角
故二面角的余弦值為.
法2:若以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo),如圖,
不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2
可得面的法向量
面的法向量
由圖可得為鈍角
∴余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓E: (a﹥b﹥0)的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓E上.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M,直線OM與橢圓E交于C,D,證明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為, 的坐標(biāo)為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn), 軸.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過(guò)的直線與橢圓交于兩不同點(diǎn),在橢圓上是否存在一點(diǎn),使四邊形為平行四邊形?若存在,求出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(I)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)求證:存在唯一的,使得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為;
(Ⅲ)比較與的大小,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列中, , 成等差數(shù)列;數(shù)列中的前項(xiàng)和為, .
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市教育局對(duì)該市普通高中學(xué)生進(jìn)行學(xué)業(yè)水平測(cè)試,試卷滿分120分,現(xiàn)從全市學(xué)生中隨機(jī)抽查了10名學(xué)生的成績(jī),其莖葉圖如下圖所示:
(1)已知10名學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?8,計(jì)算其中位數(shù)和方差;
(2)已知全市學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)分布服從正態(tài)分布,某校實(shí)驗(yàn)班學(xué)生30人.
①依據(jù)(1)的結(jié)果,試估計(jì)該班學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生人數(shù)(結(jié)果四舍五入取整數(shù));
②為參加學(xué)校舉行的數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽,該班決定推薦成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生參加預(yù)選賽若每個(gè)學(xué)生通過(guò)預(yù)選賽的概率為,用隨機(jī)變量表示通過(guò)預(yù)選賽的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
正態(tài)分布參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在小明的婚禮上,為了活躍氣氛,主持人邀請(qǐng)10位客人做一個(gè)游戲.第一輪游戲中,主持人將標(biāo)有數(shù)字1,2,…,10的十張相同的卡片放入一個(gè)不透明箱子中,讓客人依次去摸,摸到數(shù)字6,7,…,10的客人留下,其余的淘汰,第二輪放入1,2,…,5五張卡片,讓留下的客人依次去摸,摸到數(shù)字3,4,5的客人留下,第三輪放入1,2,3三張卡片,讓留下的客人依次去摸,摸到數(shù)字2,3的客人留下,同樣第四輪淘汰一位,最后留下的客人獲得小明準(zhǔn)備的禮物.已知客人甲參加了該游戲.
(1)求甲拿到禮物的概率;
(2)設(shè)表示甲參加游戲的輪數(shù),求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中,圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為2.以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為的正半軸,取相同的長(zhǎng)度單位建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求圓的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)與圓的交點(diǎn)為, 與軸的交點(diǎn)為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓()的左、右焦點(diǎn)分別為、,設(shè)點(diǎn),在中, ,周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),若直線與的斜率之和為,求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)記第(2)問(wèn)所求的定點(diǎn)為,點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試根據(jù)面積的不同取值范圍,討論存在的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.
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