【題目】給定平面上的點集,中任三點均不共線。將中所有的點任意分成83組,使得每組至少有3個點,且每點恰好屬于一組,然后將在同一組的任兩點用一條線段相連,不在同一組的兩點不連線段,這樣得到一個圖案。不同的分組方式得到不同的圖案。將圖案中所含的以中的點為頂點的三角形的個數(shù)記為。
(1)求的最小值;
(2)設是使的一個圖案,若將中的線段(指以的點為端點的線段)用4種顏色染色,每條線段恰好染一種顏色。證明存在一個染色方案,使染色后不含以的點為頂點的三邊顏色相同的三角形。
【答案】(1)168544;(2)見解析
【解析】
顯然,每個圖案由的點的分組方法唯一確定.
(1)設,由分組,,…,得到,其中為第組的點構成的集合,,2,…,83.
令,則有,且.
下證當時,有.
事實上,若存在,使得,不妨設,則作的點的分組,,…,(為第組的點構成的集合,),使得
這樣的分組顯然存在.于是,對于由分組,,…,得到的圖案,有
.
而
.
∵.
∴.
∴.這與的最小性相矛盾.
∵,
∴.
(2)設圖案由分組,,…,得到,這里表示第組的點構成的集合.由(1)不妨設,.下面給出的一個染色方法,使得用四種不同顏色染后不含三邊顏色相同的三角形.
我們將集合及所連線段構成的圖形稱為的第塊,記為,,2,…,83.對于,令,使得,.將每個子集中任兩點所連線段用圖(1)所示的方法去染,將不同子集與之間所連線段用途(2)所示的方法去染,圖中,,,分別代表四種不同的顏色,這樣染后的顯然不含三邊顏色相同的三角形.
對于,可用染的方法去染,至于的染法,可先加一點并將該點與原來的24點各連一條線段,染后按的染法染好后,再把加的一點及與該點所連的線段去掉,這樣染后的也不含三邊顏色相同的三角形.
綜上可知,結論成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線: , : ,和兩點(0,1),(-1,0),給出如下結論:
①不論為何值時, 與都互相垂直;
②當變化時, 與分別經(jīng)過定點A(0,1)和B(-1,0);
③不論為何值時, 與都關于直線對稱;
④如果與交于點,則的最大值是1;
其中,所有正確的結論的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.
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【題目】定義在上的函數(shù)滿足:①對一切恒有;②對一切恒有;③當時,,且;④若對一切(其中),不等式恒成立.
(1)求的值;
(2)證明:函數(shù)是上的遞增函數(shù);
(3)求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】一個孩子的身高與年齡(周歲)具有相關關系,根據(jù)所采集的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程,則下列說法錯誤的是( )
A.回歸直線一定經(jīng)過樣本點中心
B.斜率的估計值等于6.217,說明年齡每增加一個單位,身高就約增加6.217個單位
C.年齡為10時,求得身高是,所以這名孩子的身高一定是
D.身高與年齡成正相關關系
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標系中,動點與兩定點連線的斜率之積為,記點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)若過點的直線與曲線交于兩點,曲線上是否存在點使得四邊形為平行四邊形?若存在,求直線的方程,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費(單位:萬元)對年銷售量(單位:)的影響,對近年的年宣傳費和年銷售量作了初步統(tǒng)計和處理,得到的數(shù)據(jù)如下:
年宣傳費(單位:萬元) | ||||
年銷售量(單位:) |
,.
(1)在給定的坐標系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)求出關于的線性回歸方程;
(3)若公司計劃下一年度投入宣傳費萬元,試預測年銷售量的值.
參考公式
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了推進課堂改革,提高課堂效率,銀川一中引進了平板教學,開始推進“智慧課堂”改革.學校教務處為了了解我校高二年級同學平板使用情況,從高二年級923名同學中抽取50名同學進行調(diào)查.先用簡單隨機抽樣從923人中剔除23人,剩下的900人再按系統(tǒng)抽樣方法抽取50人,則在這923人中,每個人被抽取的可能性 ( )
A.都相等,且為B.不全相等C.都相等,且為D.都不相等
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