Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線的斜率之積為，記點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，曲線上是否存在點(diǎn)使得四邊形為平行四邊形？若存在，求直線的方程，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，見解析

【解析】

（1）設(shè)，由題意可得，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡即可得到點(diǎn)的軌跡曲線；
（2）設(shè)，由題意知的斜率一定不為0，設(shè)，代入橢圓方程整理得關(guān)于的二次方程，假設(shè)存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，其充要條件為，利用韋達(dá)定理可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程即可求出，由此可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)矛盾，故不存在．

解：（1）設(shè)，有，

得，

整理得，

∴曲線的方程為；

（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，由題意知直線的斜率不為零，

設(shè)直線的方程為

由，得：

則

由四邊形為平行四邊形，

得

點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得：，

解得

∴此時，但，

所以不存在點(diǎn)使得四邊形為平行四邊形.