Question

已知函數f（x）=e^x-

1

2

ax²-2x
（1）當a=0時，求證：f（x）＞0恒成立；
（2）記y=f（x）為函數y=f（x）的導函數，y=f″（x）為函數y=f′（x）的導函數，對于連續(xù)函數y=f（x），我們定義：若f″（x₀）=0且在x₀兩側f″（x）異號，則點（x₀，f（x₀））為曲線y=f（x）的拐點，是否存在正實數a，使得函數f（x）=e^x-

1

2

ax²-2x在其拐點處切線的傾斜角a為

5π

6

，若存在求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：導數的運算,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用導數和函數的最值的關系，即可證明，
（2）根據定義求出二次導數，再根據導數的幾何意義，求出切線的斜率，即可求出a的值．

解答： 解：（1）∵a=0，f（x）=e^x-2x，
∴f′（x）=e^x-2，
令f′（x）=0，解得x=ln2，
當f′（x）＞0，解得x＞ln2，函數單調遞增，
當f′（x）＜0，解得0＜x＜ln2，函數單調遞減，
當x=ln2時，函數有最小值，
f（x）＞f（ln2）=e^ln2-2ln2=lne²-ln4=ln

e2

4

＞0，
∴f（x）＞0恒成立；
（2）∵f（x）=e^x-

1

2

ax²-2x，
∴f′（x）=e^x-ax-2，
∴f″（x）=e^x-a，
令f″（x₀）=e^x₀-a，解得x₀=lna，a＞0，
∵拐點處切線的傾斜角a為

5π

6

，
∴k=tan

5π

6

=-

3

3

，
∴l(xiāng)na=-

3

3

，
解得a=e-

3

3

＞0，
∴存在正實數a═e-

3

3

，使得函數f（x）=e^x-

1

2

ax²-2x在其拐點處切線的傾斜角a為

5π

6

．

點評：本題考查了導數和函數的最值的關系，以及導數的幾何意義，屬于中檔題