【題目】已知等腰梯形ABCD(如圖1所示),其中AB∥CD,E,F分別為AB和CD的中點(diǎn),且AB=EF=2,CD=6,M為BC中點(diǎn).現(xiàn)將梯形ABCD沿著EF所在直線折起,使平面EFCB⊥平面EFDA(如圖2所示),N是線段CD上一動(dòng)點(diǎn),且.
(1)求證:MN∥平面EFDA;
(2)求三棱錐A-MNF的體積.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)1
【解析】(1)證明:過(guò)點(diǎn)M作MP⊥EF于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)N作NQ⊥FD于點(diǎn)Q,連接PQ.由題知,平面EFCB⊥平面EFDA,
又MP⊥EF,平面EFCB∩平面EFDA=EF,
∴MP⊥平面EFDA.
又EF⊥CF,EF⊥DF,CF∩DF=F,
∴EF⊥平面CFD.
又NQ平面CFD,∴NQ⊥EF.
又NQ⊥FD,EF∩FD=F,
∴NQ⊥平面EFDA,
∴MP∥NQ.
又CN=ND,∴NQ=CF=×3=2,
且MP= (BE+CF)=×(1+3)=2,
∴MP綊NQ,∴四邊形MNQP為平行四邊形.
∴MN∥PQ.
又∵MN平面EFDA,PQ平面EFDA,
∴MN∥平面EFDA.
(2)延長(zhǎng)DA,CB相交于一點(diǎn)H,則H∈CB,H∈DA.
又∵CB平面FEBC,DA平面FEAD.
∴H∈平面FEBC,H∈平面FEAD,
即H∈平面FEBC∩平面FEAD=EF,
∴DA,FE,CB交于一點(diǎn)H,且HE=EF=1.
V三棱錐F-CDH=V三棱錐C-HFD=·S△HFD·CF=,
又由平面幾何知識(shí)得,則,
∴V三棱錐A-MNF=V三棱錐F-AMN=V三棱錐F-CDH==1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,滿(mǎn)足.
(1) 求角的大;
(2) 若,求,的值.(其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓()的離心率是,點(diǎn)在短軸上,且。
(1)球橢圓的方程;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)。是否存在常數(shù),使得為定值?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù),若,則稱(chēng)為的“不動(dòng)點(diǎn)”;若,則稱(chēng)為的“穩(wěn)定點(diǎn)”.函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為和,即,.
()設(shè)函數(shù),求集合和.
()求證:.
()設(shè)函數(shù),且,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體QPABCD為一簡(jiǎn)單組合體,在底面ABCD中,∠DAB=60°,AD⊥DC,AB⊥BC,QD⊥平面ABCD,PA∥QD,PA=1,AD=AB=QD=2.
(1)求證:平面PAB⊥平面QBC;
(2)求該組合體QPABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在幾何體中,四邊形為直角梯形, ,四邊形為矩形,且, , 為的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)若,求平面與平面所成的銳二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2,且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)作相互垂直的弦,,求為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), 為函數(shù)的極值點(diǎn).
(1)證明:當(dāng)時(shí), ;
(2)對(duì)于任意,都存在,使得,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且對(duì)一切x>0,y>0都有,當(dāng)時(shí),有
(1)求f(1)的值;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性并加以證明;
(3)若f(4)=2,求f(x)在[1,16]上的值域.
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