Question

如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練．已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值是

 

．（仰角θ為直線AP與平面ABC所成角）

Answer 1

考點(diǎn)：在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型,解三角形

專題：解三角形

分析：過(guò)P作PP′⊥BC，交BC于P′，連接AP′，則tanθ=

PP′

AP′

，求出PP′，AP′，利用函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°，
∴BC=20m，
過(guò)P作PP′⊥BC，交BC于P′，連接AP′，則tanθ=

PP′

AP′

，
設(shè)BP′=x，則CP′=20-x，
由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=

3

3

（20-x），
在直角△ABP′中，AP′=

225+x2

，
∴tanθ=

3

3

•

20-x

225+x2

，
令y=

20-x

225+x2

，則函數(shù)在x∈[0，20]單調(diào)遞減，
∴x=0時(shí)，取得最大值為

20 3

45

=

4 3

9

．
若P′在CB的延長(zhǎng)線上，PP′=CP′tan30°=

3

3

（20+x），
在直角△ABP′中，AP′=

225+x2

，
∴tanθ=

3

3

•

20+x

225+x2

，
令y=

(20+x)2

225+x2

，則y′=0可得x=

45

4

時(shí)，函數(shù)取得最大值

5 3

9

，
故答案為：

5 3

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．