Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，過左焦點傾斜角為45°的直線被橢圓截得的弦長為

4 2

3

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若動直線l與橢圓E有且只有一個公共點，過點M（1，0）作l的垂線垂足為Q，求點Q的軌跡方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由橢圓E的離心率為

2

2

，可得

c

a

=

a2-b2

a

=

2

2

，解得a²=2b²，可得c=b．故橢圓E的方程可設(shè)為x²+2y²=2b²，則橢圓E的左焦點坐標(biāo)為（-b，0），過左焦點傾斜角為45°的直線方程為l′：y=x+b．與橢圓方程聯(lián)立可得交點坐標(biāo)，利用弦長公式|AB|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 2 b

3

=

4 2

3

，解得b即可得出．
（2）當(dāng)切線l的斜率存在且不為0時，設(shè)l的方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，根據(jù)直線l和橢圓E有且僅有一個交點，可得△=0，m²=2k²+1．由于直線MQ與l垂直，可得直線MQ的方程為：y=-

1

k

(x-1)，聯(lián)立

y=- 1 k (x-1) y=kx+m

，解得

x= 1-km 1+k2 y= k+m 1+k2

，消去m，k即可得出．

解答： 解：（1）∵橢圓E的離心率為

2

2

，
∴

c

a

=

a2-b2

a

=

2

2

，解得a²=2b²，
∴c²=a²-b²=b²，即c=b．
故橢圓E的方程可設(shè)為x²+2y²=2b²，則橢圓E的左焦點坐標(biāo)為（-b，0），過左焦點傾斜角為45°的直線方程為l′：y=x+b．
設(shè)直線l′與橢圓E的交點記為A，B，聯(lián)立

x2+2y2=2b2 y=x+b

，消去y，得3x²+4bx=0，
解得x₁=0，x₂=-

4b

3

，
∴|AB|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 2 b

3

=

4 2

3

，解得b=1．
故橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）（ i）當(dāng)切線l的斜率存在且不為0時，設(shè)l的方程為y=kx+m，
聯(lián)立

y=kx+m x2+2y2=2

，消去y并整理，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直線l和橢圓E有且僅有一個交點，∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，
化簡并整理，得m²=2k²+1．
∵直線MQ與l垂直，∴直線MQ的方程為：y=-

1

k

(x-1)，
聯(lián)立

y=- 1 k (x-1) y=kx+m

，解得

x= 1-km 1+k2 y= k+m 1+k2

，
∴x²+y²=(

1-km

1+k2

)2+(

k+m

1+k2

)2=

m2+1

1+k2

=

2k2+2

1+k2

=2．（*）
（ ii）當(dāng)切線l的斜率為0時，此時Q（1，±1），符合（*）式．  
（ iii）當(dāng)切線l的斜率不存在時，此時Q(

2

，0) 或(-

2

，0)，符合（*）式．
綜上所述，點Q的軌跡方程為x²+y²=2．

點評：本題主要考查軌跡方程和橢圓的定義、直線方程、直線與橢圓相切的位置關(guān)系，弦長問題，考查學(xué)生運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．