【題目】如圖,已知A,B兩鎮(zhèn)分別位于東西湖岸MN的A處和湖中小島的B處,點(diǎn)C在A的正西方向1 km處,tan∠BAN=,∠BCN=,.現(xiàn)計(jì)劃鋪設(shè)一條電纜連通A,B兩鎮(zhèn),有兩種鋪設(shè)方案:①沿線段AB在水下鋪設(shè);②在湖岸MN上選一點(diǎn)P,先沿線段AP在地下鋪設(shè),再沿線段PB在水下鋪設(shè),預(yù)算地下、水下的電纜鋪設(shè)費(fèi)用分別為2萬元km、4萬元km.
(1)求A,B兩鎮(zhèn)間的距離;
(2)應(yīng)該如何鋪設(shè),使總鋪設(shè)費(fèi)用最低?
【答案】(1)5km(2)點(diǎn)P選在A鎮(zhèn)的正西方向(4-) km處,總鋪設(shè)費(fèi)用最低
【解析】
(1)過B作MN的垂線,垂足為D,在Rt△ABD和Rt△BCD中利用正切的定義表示AD,CD,借助AC=AD-CD構(gòu)建方程,求得BD,AD,進(jìn)而由勾股定理,得答案;
(2)方案①總費(fèi)用等于單價(jià)乘以長(zhǎng)度;方案②:設(shè)∠BPD=θ,在Rt△BDP中利用正弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義用θ表示BP,AP長(zhǎng)度,進(jìn)而構(gòu)建總鋪設(shè)費(fèi)用的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析該函數(shù)的單調(diào)性,得此方案的最小值;最后比較方案①和方案②的費(fèi)用,確定答案.
(1) 如圖,過B作MN的垂線,垂足為D.
在Rt△ABD中,tan∠BAD=tan∠BAN==,
所以AD=BD.
在Rt△BCD中,tan∠BCD=tan∠BCN==1,
所以CD=BD.
則AC=AD-CD=BD-BD=BD=1,
所以BD=3,則CD=3,AD=4.
由勾股定理得,AB==5(km).
所以A,B兩鎮(zhèn)間的距離為5km
(2) 方案①:沿線段AB在水下鋪設(shè)時(shí),總鋪設(shè)費(fèi)用為5×4=20(萬元)
方案②:設(shè)∠BPD=θ,則θ∈,其中θ0=∠BAN.
在Rt△BDP中,DP=,BP=,
所以AP=4-DP=4-.
則總鋪設(shè)費(fèi)用為2AP+4BP=8-
設(shè)f(θ)=,則f′(θ)=,
令f′(θ)=0,得即θ=,列表如下:
θ | |||
f′(θ) | - | 0 | + |
f(θ) | 單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 |
所以f(θ)的最小值為.
所以方案②的總鋪設(shè)費(fèi)用最低為 (萬元),此時(shí)AP=4-.
而,所以應(yīng)選擇方案②進(jìn)行鋪設(shè),點(diǎn)P選在A鎮(zhèn)的正西方向(4-) km處,總鋪設(shè)費(fèi)用最低.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)為曲線上的點(diǎn),,垂足為,若的最小值為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)若方程2[f(x)]2﹣5tf(x)+3t2=0恰有4個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.6931)( )
A.(,)
B.(,)
C.(,2﹣2ln2)∪(,1)
D.(,2﹣1n2)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田,如圖所示,它的邊界由圓O的一段圓弧(P為此圓弧的中點(diǎn))和線段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米,點(diǎn)P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚,大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD,大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為,要求均在線段上,均在圓弧上.設(shè)OC與MN所成的角為.
(1)用分別表示矩形和的面積,并確定的取值范圍;
(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜,大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜,且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為.求當(dāng)為何值時(shí),能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,B,C分別是海岸線上的兩個(gè)城市,兩城市間由筆直的海濱公路相連,B,C之間的距離為100km,海島A在城市B的正東方50處.從海島A到城市C,先乘船按北偏西θ角(,其中銳角的正切值為)航行到海岸公路P處登陸,再換乘汽車到城市C.已知船速為25km/h,車速為75km/h.
(1)試建立由A經(jīng)P到C所用時(shí)間與的函數(shù)解析式;
(2)試確定登陸點(diǎn)P的位置,使所用時(shí)間最少,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺(tái)形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm,容器Ⅰ的底面對(duì)角線AC的長(zhǎng)為10cm,容器Ⅱ的兩底面對(duì)角線EG,E1G1的長(zhǎng)分別為14cm和62cm. 分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均為12cm. 現(xiàn)有一根玻璃棒l,其長(zhǎng)度為40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì))
(1)將l放在容器Ⅰ中,l的一端置于點(diǎn)A處,另一端置于側(cè)棱CC1上,求l沒入水中部分的長(zhǎng)度;
(2)將l放在容器Ⅱ中,l的一端置于點(diǎn)E處,另一端置于側(cè)棱GG1上,求l沒入水中部分的長(zhǎng)度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)曲線E的方程為1,動(dòng)點(diǎn)A(m,n),B(﹣m,n),C(﹣m,﹣n),D(m,﹣n)在E上,對(duì)于結(jié)論:①四邊形ABCD的面積的最小值為48;②四邊形ABCD外接圓的面積的最小值為25π.下面說法正確的是( )
A.①錯(cuò),②對(duì)B.①對(duì),②錯(cuò)C.①②都錯(cuò)D.①②都對(duì)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形,點(diǎn)是圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)(不與重合),點(diǎn)是圓弧的中點(diǎn),且點(diǎn)在平面的兩側(cè).
(1)證明:平面平面;
(2)設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn),點(diǎn)分別是和的重心,當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),回答下列問題.
(。┳C明:平面;
(ⅱ)求平面與平面所成二面角的正弦值.
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【題目】設(shè)函數(shù),其中為正實(shí)數(shù).
(1)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),證明.
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