設(shè)x、y為實數(shù),集合A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|16x2+8x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},問是否存在自然數(shù)k,b使(A∪B)∩C=∅?
考點:集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題,交、并、補集的混合運算
專題:集合
分析:將(A∪B)∩C轉(zhuǎn)化為(A∩C)∪(B∩C)=φ,即有A∩C=φ且B∩C=φ.轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的方程組無解的條件.
解答: 解:若(A∪B)∩C=∅,則(A∩C)∪(B∩C)=φ,即有A∩C=φ且B∩C=φ.
即方程組
y2-x-1=0
y=kx+b
 ①與
16x2+8x-2y+5=0
y=kx+b
 ②都無解,
由①得k2x2+(2kb-1)x+b2-1=0,
若k=0,則方程為x=1-b2,有解,不滿足條件,
若k≠0,則判別式△=(2kb-1)2-4k2(b2-1)<0,
即1-4kb+4k2<0,
∴b>
1+4k2
4k

∵k,b是自然數(shù),∴b>1,
由②得16x2+8x-2(kx+b)+5=0,
即16x2+(8-2k)x+5-2b=0,
判別式△=(8-2k)2-4×16(5-2b)<0,
即k2-8k+32b-64<0,
即b<
-k2+8k+64
32
=
-(k-4)2+80
32
80
32
=
5
2

∵b是自然數(shù),
∴b=2,此時k=1,
故存在b=2,k=1使得使(A∪B)∩C=∅.
點評:本題考查集合間的基本關(guān)系及運算.方程解的情況判斷.本題轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的方程組無解的條件是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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已知sin( α+
π
6
)=
1
3
,且α∈(0,π),則tanα=
 

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如圖,這個二次函數(shù)的方程為
 

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已知在△ABC中,若
cosA
a
=
cosB
b
=
cosC
c
,試判斷△ABC的形狀.

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設(shè)-3π<α<-
5
2
π,化簡
1-cos(α-π)
2
的結(jié)果是
 

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如果函數(shù)f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于點(
π
8
,0)成中心對稱,那么a=( 。
A、
2
B、-
2
C、1
D、-1

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化簡:
sin(kπ-a)cos(kπ+a)
sin[(k+1)π+a]cos[(k+1)π+a]

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雙曲線與橢圓
x2
16
+
y2
64
=1有相同的焦點,且離心率為
2
,則雙曲線方程為(  )
A、x2-y2=96
B、y2-x2=100
C、x2-y2=80
D、y2-x2=24

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