Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD垂直底面ABCD，∠PAD＝∠ABC，設(shè)．

（1）求證：AE垂直BC；

（2）若直線AB∥平面PCD，且DC＝2AB，求證：直線PD∥平面ACE．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）先證明BC⊥平面PAB ，根據(jù)AE平面PAB得到證明。

（2）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，證明△ABO∽△CDO，根據(jù)相似得到OE∥PD，得到證明。

（1）∵在四棱錐P﹣ABCD中，∠PAD，∴PA⊥AD，

∵側(cè)面PAD垂直底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD＝AD，

∴PA⊥底面ABCD，∵BC平面ABCD，∴PA⊥BC，∵∠ABC，∴AB⊥BC，

∵PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∵AE平面PAB，∴AE垂直BC．

（2）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，

∵直線AB∥平面PCD，ABCD是平面圖形，∴AB∥CD，

∴△ABO∽△CDO，

∵，且DC＝2AB，∴，∴OE∥PD，

∵OE平面ACE，PO平面ACE，∴直線PD∥平面ACE．