【題目】如圖所示,在多面體ABCDE中,△BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,AE∥DB,AE⊥DE,2AE=BD,DE=1,面ABDE⊥面BCD,F(xiàn)是CE的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:BF⊥CD;
(Ⅱ)求二面角C﹣BF﹣D的余弦值.

【答案】解:(Ⅰ)證明:如圖,取BD中點(diǎn)O,連接OC,OA,
∵△BCD為正三角形,∴OC⊥BD,
∵面ABDE⊥面BCD,且面ABDE∩面BCD=BD,
∴OC⊥面ABDE,則OC⊥OA,
又AE∥DB,AE⊥DE,AE= ,
∴OA⊥OD.
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)C、OD、OA所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則B(0,﹣1,0),C( ,0,0),D(0,1,0),E(0,1,1),F(xiàn)( ).
,
,∴ ,即BF⊥CD;
(Ⅱ)解: ,
設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為 ,
,得 ,取x1=1,得
設(shè)平面BFD的一個(gè)法向量 ,
,得 ,取x2=1,得
∴cos< >= =
∴二面角C﹣BF﹣D的余弦值為
【解析】(Ⅰ)取BD中點(diǎn)O,連接OC,OA,由題意可證OC、OD、OA兩兩互相垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)C、OD、OA所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出B,C,D,E,F(xiàn)的坐標(biāo),得到 的坐標(biāo),由 ,可得 ,即BF⊥CD;(Ⅱ)分別求出平面BCF與平面BFD的一個(gè)法向量,利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角C﹣BF﹣D的余弦值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. (a>0,b>0)
B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)
C. (a>0,b>0)
D. (a>0,b>0)

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