【題目】四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD中點,PA⊥底面ABCD,PA=2.
(1)證明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求直線PC與平面PBE所成的角的正弦值.
【答案】
(1)證明:連結(jié)BD,
∵四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,
∴BD=BC=DC=1,
∵E是CD中點,∴BE⊥DC,
∵AB∥DC,∴BE⊥AB,
∵PA⊥底面ABCD,BE平面ABCD,
∴BE⊥PA,
∵PA∩AB=A,∴BE⊥平面PAB,
∵BE平面PAB,∴平面PBE⊥平面PAB.
(2)解:以E為原點,EB為x軸,EC為y軸,以過點E且垂直于平面ABCD的直線為z軸,
建立空間直角坐標系,
則P( ,﹣1,2),C(0, ,0),B( ,0,0),E(0,0,0),
=(﹣ , ,﹣2), =( ,0,0), =( ,﹣1,2),
設平面PBE的法向量 =(x,y,z),
則 ,取z=1,得 =(0,2,1),
設直線PC與平面PBE所成的角為θ,
則sinθ= = = .
∴直線PC與平面PBE所成的角的正弦值為 .
【解析】(1)連結(jié)BD,推導出BE⊥AB,BE⊥PA,從而BE⊥平面PAB,由此能證明平面PBE⊥平面PAB.(2)以E為原點,EB為x軸,EC為y軸,以過點E且垂直于平面ABCD的直線為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出直線PC與平面PBE所成的角的正弦值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識,掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直,以及對空間角的異面直線所成的角的理解,了解已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本,并稱出它們的重量(單位:克),重量值落在[495,510)內(nèi)的產(chǎn)品為合格品,否則為不合格品.統(tǒng)計結(jié)果如下:
甲流水線樣本的頻數(shù)分布表
產(chǎn)品重量(克) | 頻數(shù) |
[490,495) | 6 |
[495,500) | 8 |
[500,505) | 14 |
[505,510) | 8 |
[510,515] | 4 |
乙流水線樣本的頻率分布直方圖
(1)求甲流水線樣本合格的頻率;
(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表,并回答有多大的把握認為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關.
分類 | 甲流水線 | 乙流水線 | 總計 |
合格品 | |||
不合格品 | |||
總計 |
附:K2=.
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在多面體ABCDE中,△BCD是邊長為2的正三角形,AE∥DB,AE⊥DE,2AE=BD,DE=1,面ABDE⊥面BCD,F(xiàn)是CE的中點.
(Ⅰ)求證:BF⊥CD;
(Ⅱ)求二面角C﹣BF﹣D的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,定義域為[0,2π],g(x) 為f(x) 的導函數(shù).
(1)求方程g(x)=0 的解集;
(2)求函數(shù)g(x) 的最大值與最小值;
(3)若函數(shù)F(x)=f(x)﹣ax 在定義域上恰有2個極值點,求實數(shù)a 的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=x3+ax2+5x+6在區(qū)間[1,3]上為單調(diào)減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是( 。
A. [﹣,+∞) B. (﹣∞,﹣3]∪[﹣,+∞)
C. (﹣∞,﹣3] D. [﹣,]
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名同學的投籃命中次數(shù),乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊,無法確認,在圖中用表示.
(1)若乙組同學投籃命中次數(shù)的平均數(shù)比甲組同學的平均數(shù)少1,求及乙組同學投籃命中次數(shù)的方差;
(2)在(1)的條件下,分別從甲、乙兩組投籃命中次數(shù)低于10次的同學中,各隨機選取一名,求這兩名同學的投籃命中次數(shù)之和為16的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4﹣5:不等式選講
設函數(shù)f(x)=|2x﹣4|+|x+2|
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)若不等式f(x)≥|a+4|﹣|a﹣3|恒成立,求a的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知p:m∈R,且m+1≤0,q:x∈R,x2+mx+1>0恒成立,若p∧q為假命題且p∨q為真命題,則m的取值范圍是__________________.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設復數(shù).
(1)若z在復平面內(nèi)對應的點在第三象限,求m的取值范圍;
(2)若z在復平面內(nèi)對應的點在直線x-y-1=0上,求m的值.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com