Question

已知過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）兩點(diǎn)，直線OM、ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別與準(zhǔn)線l相交于P、Q兩點(diǎn)，下列命題正確的是

 

（請(qǐng)?zhí)钌险�確命題的序號(hào)）
①|(zhì)MN|=x₁+x₂+p
②|MF|=|MQ|
③∠PFQ=

π

2

④|MN|＜|MQ|+|NP|
⑤以線段MF為直徑的圓必與y軸相切．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①由拋物線的定義可得|MN|=x₁+x₂+p；假設(shè)直線MN的方程與拋物線方程聯(lián)立，判斷MQ⊥PQ，NP⊥PQ，再利用拋物線的定義可得相等的角，進(jìn)而可求∠PFQ=90°，即可判斷其余結(jié)論．

解答： 解：①由拋物線的定義可得|MN|=x₁+x₂+p，正確；
由題意，設(shè)直線MN的方程為：x=my+

p

2

，代入拋物線y²=2px（p＞0），可得y²-2mpy-p²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁y₂=-p²，∵OM的方程為：y=

y1

x1

x，ON的方程為：y=

y2

x2

x，直線OM、ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別與準(zhǔn)線x=-

p

2

相交于P、Q兩點(diǎn)∴P（-

p

2

，-

p2

y1

），∴Q（（-

p

2

，-

p2

y2

）
∵y₁y₂=-p²，∴MQ⊥PQ，NP⊥PQ，∴∠MQF=∠QFO，∠NPF=∠PFO
∵過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)
∴MQ=MF，NP=NF，∴∠MQF=∠MFQ，∠NFP=∠NPF
∴∠PFQ=90°，∴②③⑤正確；④不正確．
故答案為：①②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線為載體，考查拋物線的性質(zhì)，考查拋物線的過(guò)焦點(diǎn)弦，計(jì)算要小心，屬于中檔題．