【題目】已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在上恰有兩個不同的零點(diǎn),求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)f(x)在(-∞,-1)遞減;在(-1,+∞)遞增;(2).
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到關(guān)于的方程,求出,解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)問題等價于在[-2,2]上恰有兩個不同的實根.令g(x)=xex+x2+2x,求出函數(shù)的單調(diào)性求出g(x)的最小值,從而求出m的范圍即可.
試題解析:
(1)f'(x)=ex+xex+2ax+2,
∵f(x)在x=1處取得極值, ∴f'(-1)=0,解得a=1.經(jīng)檢驗a=1適合,
∴f(x)=xex+x2+2x+1,f'(x)=(x+1)(ex+2),
當(dāng)x∈(-∞,-1)時,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1)遞減;
當(dāng)x∈(-1+∞)時,f'(x)>0,∴f(x)在(-1,+∞)遞增.
(2)函數(shù)y=f(x)-m-1在[-2,2]上恰有兩個不同的零點(diǎn),
等價于xex+x2+2x-m=0在[-2,2]上恰有兩個不同的實根,
等價于xex+x2+2x=m在[-2,2]上恰有兩個不同的實根.
令g(x)=xex+x2+2x,∴g'(x)=(x+1)(ex+2),
由(1)知g(x)在(-∞,-1)遞減; 在(-1,+∞)遞增.
g(x)在[-2,2]上的極小值也是最小值; . 又,g(2)=8+2e2>g(-2), ∴,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐中,底面四邊形為平行四邊形,為的中點(diǎn),為上一點(diǎn),且(如圖).
(1)證明:平面;
(2)當(dāng)平面平面,,時,求三棱錐的體積.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,平面,,,,分別是,的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)設(shè)為線段上的動點(diǎn),若線段長的最小值為,求二面角的余弦值.
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【題目】已知橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是,點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn),橢圓另一個焦點(diǎn)是,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過點(diǎn),且與橢圓交于兩點(diǎn),求的內(nèi)切圓面積的最大值.
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【題目】已知拋物線:,直線:.
(1)若直線與拋物線相切,求直線的方程;
(2)設(shè),直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn),,若存在點(diǎn),滿足,且線段與互相平分(為原點(diǎn)),求的取值范圍.
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【題目】已知拋物線:上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5.
(1)求與的值;
(2)設(shè)動直線與拋物線相交于,兩點(diǎn),問:在軸上是否存在與的取值無關(guān)的定點(diǎn),使得?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,用一平面去截球,所得截面面積為,球心到截面的距離為3,為截面小圓圓心,為截面小圓的直徑.
(1)計算球的表面積和體積;
(2)若是截面小圓上一點(diǎn),,分別是線段和的中點(diǎn),求異面直線與所成的角(結(jié)果用反三角表示).
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【題目】已知函數(shù).
(1)若為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍;
(2)若函數(shù)僅一個零點(diǎn),求a的取值范圍.
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【題目】已知某產(chǎn)品的銷售額與廣告費(fèi)用之間的關(guān)系如下表:
(單位:萬元) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
(單位:萬元) | 10 | 15 | 30 | 35 |
若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得對的回歸直線方程為,則下列說法中錯誤的是( )
A.產(chǎn)品的銷售額與廣告費(fèi)用成正相關(guān)
B.該回歸直線過點(diǎn)
C.當(dāng)廣告費(fèi)用為10萬元時,銷售額一定為74萬元
D.的值是20
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