【題目】設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

)求橢圓的方程;

)過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),過點(diǎn)且平行于的直線與橢圓交于另一點(diǎn),問是否存在直線,使得四邊形的對(duì)角線互相平分?若存在,求出的方程;若不存在,說明理由.

【答案】)存在直線滿足題意,詳見解析

【解析】

)根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn),從而可得出橢圓兩焦點(diǎn)的坐標(biāo),利用橢圓定義求出的值,結(jié)合的值,可求出的值,從而寫出橢圓的方程;

)設(shè)直線的方程為,可得出直線的方程為,設(shè), 將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,消去,得出有關(guān)的一元二次方程,并列出韋達(dá)定理,同理將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得出點(diǎn)的坐標(biāo),由已知條件得出線段的中點(diǎn)重合,從而可得出有關(guān)的方程,求出的值,即可得出直線的方程.

)解:由點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,得,

所以橢圓E的焦點(diǎn)為,

由橢圓定義,得 .

所以 .

故橢圓的方程為;

)解:結(jié)論:存在直線,使得四邊形的對(duì)角線互相平行.

理由如下:

由題可知直線,直線的斜率存在,

設(shè)直線的方程為,直線的方程為

,消去

由題意,可知 ,設(shè),

,

消去,

,

,可知,設(shè),又,

若四邊形的對(duì)角線互相平行,則的中點(diǎn)重合,

所以,即

所以

解得

所以直線,四邊形的對(duì)角線互相平分.

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