Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程．

（1）若曲線與只有一個公共點，求的值；

（2）為曲線上的兩點，且，求的面積最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題（1）將曲線的參數(shù)方程和直線的極坐標方程化為普通方程，然后利用圓心到直線的距離為半徑建立等量關(guān)系，求解參數(shù)的值；（2）借助極坐標方程中極角的幾何意義和三角變換，將的面積公式轉(zhuǎn)化為含有一個角的一個三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的圖象探求最值問題.

（Ⅰ）曲線是以為圓心，以為半徑的圓；

直線的直角坐標方程為．

由直線與圓只有一個公共點，則可得，

解得： （舍），．

所以：

（Ⅱ）曲線的極坐標方程為，

設(shè)的極角為， 的極角為，

則，

所以當時，取得最大值．

的面積最大值.

解法二：因為曲線是以為圓心，以為半徑的圓，且

由正弦定理得：，所以．

由余弦定理得，

所以，

所以的面積最大值．