Question

【題目】如圖，平面，，點分別為的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）若為線段上的點，且直線與平面所成的角為，求線段的長.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）連接，證得，利用用線面判定定理，即可得到；

（Ⅱ）以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向的空間直角坐標系，求得平面和平面法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

（Ⅲ）設(shè)，則，從而，

由（Ⅱ）知平面的法向量為，利用向量的夾角公式，得到關(guān)于的方程，即可求解．

（Ⅰ）連接，因為，所以，又因為，所以為平行四邊形.

由點和分別為和的中點，可得且，

因為為的中點，所以且，可得且，即四邊形為平行四邊形，所以，又，，

所以.

（Ⅱ）因為，，可以建立以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向的空間直角坐標系.

依題意可得，

.

設(shè)為平面的法向量，

則，即，不妨設(shè)，可得

設(shè)為平面的法向量，

則，即，不妨設(shè)，可得.

，于是.

所以，二面角的正弦值為.

（Ⅲ）設(shè)，即，則.

從而.

由（Ⅱ）知平面的法向量為，

由題意，，即，

整理得，解得或，

因為所以，所以.