Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn).

(2) 或或

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)，討論的解是否在，在時(shí)判斷解左右的導(dǎo)數(shù)符號(hào)，確定極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（2）利用（1）所求，對(duì)a討論，研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，應(yīng)用零點(diǎn)存在定理判斷何時(shí)方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根.

（1）的定義域?yàn)?/span>，.

由得或.

當(dāng)時(shí)，由得，由得，

∴在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，在處取得極小值，無(wú)極大值；

當(dāng)，即時(shí)，由得，或，

由得，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

在處取得極小值，在處取得極大值.

綜上，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，

則在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

顯然函數(shù)與的單調(diào)性是一致的.

①當(dāng)時(shí)，由（1）知函數(shù)在區(qū)間上遞減，上遞增，

所以在上的最小值為，

由于，要使在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

需滿足或，解得或.

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∵，∴當(dāng)時(shí)，總有.

∵，

∴，又

∴在上必有零點(diǎn).

∵在上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)或或時(shí)，方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根.