Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足（a+b）（sinA-sinB）-（a-c）sinC=0．
（1）求角B的大小；
（2）若cos²

A

2

=

1

2

+

5

10

，求tanC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,兩角和與差的正切函數(shù),正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）△ABC中，由條件利用正弦定理可得 a²+c²-b²=a，求得cosB=

a2+c2-b2

2ac

的值，即可求得B的值．
（2）由條件利用二倍角公式求得cosA=2cos²A-1的值，可得 sinA和tanA的值，再根據(jù)tanC=-tan（A+B），利用兩角和的正切公式計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解：（1）△ABC中，由（a+b）（sinA-sinB）-（a-c）sinC=0，利用正弦定理可得
（a+b）（a-b）-（a-c）c=0，即 a²+c²-b²=a，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，∴B=

π

3

．
（2）∵cos²

A

2

=

1

2

+

5

10

，∴cosA=2cos²A-1=

5

5

，∴sinA=

2 5

5

，
∴tanA=

sinA

cosA

=2．
∴tanC=-tan（A+B）=-tan（

π

3

+A）=-

tan π 3 +tanA

1-tan π 3 tanA

=

3 +2

1-2 3

=

8+5 3

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式、兩角和的正切公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．