Question

在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（2，

3π

2

），曲線C：p=4cosθ．以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)P作傾斜角為α的直線l．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的普通方程；
（2）若直線l交曲線C于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，求|PM|²+|PN|²的最大值及其相應(yīng)α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）點(diǎn)P（2，

3π

2

），化為直角坐標(biāo)P（0，-2），即可得出過點(diǎn)P作傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)PM與PN對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂．把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程可得t²-4t（cosα+sinα）+4=0，由△＞0，可得sin2α∈（0，1]．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|PM|²+|PN|²=

t

2 1

+

t

2 2

=(t1+t2)2-2t₁t₂=16sin2α+8，即可得出．

解答： 解：（1）點(diǎn)P（2，

3π

2

），化為直角坐標(biāo)P（0，-2），
∴過點(diǎn)P作傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為

x=tcosα y=-2+tsinα

（t為參數(shù)）．α∈[0，π）
曲線C：p=4cosθ，可得ρ²=4ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4x．
（2）設(shè)PM與PN對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂．
把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程可得t²-4t（cosα+sinα）+4=0，
△=16（1+sin2α）-16=16sin2α＞0，∴sin2α∈（0，1]．
∴t₁+t₂=4（cosα+sinα），t₁t₂=4．
∴|PM|²+|PN|²=

t

2 1

+

t

2 2

=(t1+t2)2-2t₁t₂
=16（1+sin2α）-8
=16sin2α+8≤24，
當(dāng)sin2α=1時(shí)，即α=

π

4

時(shí)取等號．
∴|PM|²+|PN|²的最大值為24，及其相應(yīng)α=

π

4

．

點(diǎn)評：本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、直線與圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、三角函數(shù)的值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．