如圖，已知平行六面體ABC-A1B1C1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時，EF⊥AD？
解．（1）∵平行六面體底面為正方形，∴A1A∥CC1，∴A1C1∥AC，
又O1，O分別為上下底面中心，∴A1O1∥CO，A1O1=CO，
∴四邊形A1O1CO為平行四邊形，∴CO1∥A1O．
A1在底面ABCD射影為O，∴A1O⊥平面AC，所以CO1⊥平面AC，
又CO1?平面O1DC，∴平面O1DC⊥平面ABCD．
（2）過E作AC垂線，垂足為G，則EG∥A1O，∴EG⊥平面AC，
若要EF⊥AD，即EF⊥BC，則需GF⊥BC，
∵底面ABCD為正方形，∴FG∥AB，
由A1E=
1
2
AE，則OG=
1
2
AG，∴
GF
AB
=
CF
CB
=
CG
CA
=
4
6
=
2
3
，
∴F為BC的三等分點，靠近B．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四面體ABCD中，O、E分別為BD、BC的中點，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
2
．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在長方體AC′中，AB=AC=a，BB′=b（b＞a），連接BC′，過點B′作B′E⊥BC′交CC′于E．
（1）求證：AC′⊥平面EB′D′；
（2）求三棱錐C′-B′D′E的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．
（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）證明：平面BDE⊥平面PBC．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，A-BCDE是一個四棱錐，AB⊥平面BCDE，且四邊形BCDE為矩形，則圖中互相垂直的平面共有（　�。�
A．4組B．5組C．6組D．7組

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，且AD=PD=2MA．
（Ⅰ）求證：平面EFG⊥平面PDC；
（Ⅱ）求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M，N，P，Q分別是AA1，BB1，AB，B1C1的中點，
（1）求證：面PCC1⊥面MNQ；
（2）求證：PC1∥面MNQ．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥底面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中點，
求證：（1）DE=DA；
（2）面BDM⊥面ECA．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，E是線段B1C的中點，分別以AB、AD、AA1為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，點E的坐標是______．

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