Question

已知數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)，是關(guān)于方程的兩根，且.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的都成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）（3）

試題分析：（1）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得數(shù)列的遞推公式：，
設(shè)，易求得：，，
并注意到: ,可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）的結(jié)果得數(shù)列的通項(xiàng)公式,于是: ,的拆項(xiàng)法,將數(shù)列的前項(xiàng)和化為兩個(gè)等比數(shù)列的前和.
（3）由韋達(dá)定理：=
所以，采用分離變量法求將求實(shí)數(shù) 的取值范圍問(wèn)題，轉(zhuǎn)變成求關(guān)于的函數(shù)的最值問(wèn)題.
試題解析：（1）∵，∴，
∵，
∴，
∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。
且                    4分
（2）由（1）得=
  8分（注：未分奇偶寫也得8分）
（3）∵，
∴,∴,
∴.
∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
∴對(duì)任意的為奇數(shù)都成立，∴。                  11分
∴當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
∴，
∴對(duì)任意的為偶數(shù)都成立，∴                     13分
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為。                   14分項(xiàng)和；3、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.