Question

【題目】已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．

（1）證明：當(dāng)時(shí)，；

（2）若是函數(shù)＝在內(nèi)零點(diǎn)，求證：．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）先寫(xiě)出的解析式，，得到在，上，單調(diào)遞增．對(duì)求導(dǎo)，得，得到在，上，單調(diào)遞減，令，，求導(dǎo)，分析單調(diào)性，可得，進(jìn)而證明．

（2）由題可知在，有根①，令，則，，可得，因?yàn)?/span>，由（1）得單調(diào)性，所以，又因?yàn)椋?/span>1）可知上，單調(diào)遞減，可得又因?yàn)?/span>，化簡(jiǎn)即可得證．

（1）證明：，

當(dāng)時(shí)，，

所以在上，單調(diào)遞增．

，

在上，，單調(diào)遞減，

令，，，

，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

所以，

所以．

（2）證明：若是函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)，

則在有根，

所以在有根，

即在有根，①

令，則，

，

又因?yàn)?/span>①式成立，所以，

因?yàn)?/span>，

由（1）可知在上，單調(diào)遞增，所以，

由（1）可知上，單調(diào)遞減，

所以

由（1）可知；

所以又因?yàn)?/span>①式成立，得，

所以．