Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax-2，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，（x-k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，切點(diǎn)的坐標(biāo)，可得函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)x＞0時(shí)，（x-k）f′（x）+x+1＞0等價(jià)于k＜

x+1

ex-1

+x（x＞0），令g（x）=

x+1

ex-1

+x，求最值，即可求k的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閍=1時(shí)，f（x）=e^x-x-2，所以f′（x）=e^x-1，f′（0）=-1，
故切線方程是y=-1；                                 …3分
（Ⅱ）f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）=e^x-a，
若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）在R上單調(diào)遞增；           …5分
若a＞0，則f′（x）=0解得x=lna．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）變化如下表：

x	（-∞，lna）	lna	（lna，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

所以，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是：（-∞，lna），增區(qū)間是：（lna，+∞）．…8分
（Ⅲ）由于a=1，所以（x-k）f′（x）+x+1=（x-k）（e^x-1）+x+1．
故當(dāng)x＞0時(shí)，（x-k）f′（x）+x+1＞0等價(jià)于k＜

x+1

ex-1

+x（x＞0）①…10分
令g（x）=

x+1

ex-1

+x，則g′（x）=

ex(ex-x-2)

(ex-1)2

．…12分
由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）存在唯一的零點(diǎn)．
故g′（x）在（0，+∞）存在唯一的零點(diǎn)．
設(shè)此零點(diǎn)為a，則a∈（1，2）．
當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，+∞）的最小值為g（a）．
又由g′（a）=0，可得e^a=a+2，所以g（a）=a+1∈（2，3）．
由于①式等價(jià)于k＜g（a），故整數(shù)k的最大值為2．…14分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，正確求導(dǎo)、確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．