Question

【題目】已知拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F且垂直于x軸的直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，E的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)C，△CAB的面積為4，以點(diǎn)D（3，0）為圓心的圓D過點(diǎn)A，B． （Ⅰ）求拋物線E和圓D的方程；
（Ⅱ）若斜率為k（|k|≥1）的直線m與圓D相切，且與拋物線E交于M，N兩點(diǎn)，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意， ， 由p2=4得p=2，圓D半徑R=2 ，
所以拋物線E：y2=4x，圓（x﹣3）2+y2=8．
（Ⅱ）設(shè)直線m：y=kx+b（|k|≥1），
則 =2 ，即k2+6kb+b2=8，①
聯(lián)立y=kx+b與拋物線得ky2﹣4y+4b=0，△=16﹣16kb，
由①知kb≤1，即△≥0
所以方程ky2﹣4y+4b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根y1 ， y2 ， 且y1+y2= ，y1y2=
= [（y1y2）2﹣4（y1+y2）2+24y1y2+16]= =
因?yàn)閨k|≥1，所以 的取值范圍是（0，4]．
【解析】（Ⅰ）利用，△CAB的面積為4，以點(diǎn)D（3，0）為圓心的圓D過點(diǎn)A，B，即可求拋物線E和圓D的方程；（Ⅱ）設(shè)直線m：y=kx+b（|k|≥1），則 =2 ，即k2+6kb+b2=8，聯(lián)立y=kx+b與拋物線，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論．