Question

如圖所示,在四棱錐中,底面為矩形,平面,點(diǎn)在線(xiàn)段上,平面.

(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.

Answer 1

（1）對(duì)于線(xiàn)面垂直的證明，一般要通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)垂直來(lái)分析證明，關(guān)鍵是對(duì)于，
（2）3

試題分析：解析:(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013603097410.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面,所以.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013602972393.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面.                                 
5分 
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面,而平面,所以,而為矩形,所以為正方形,于是.
法1:以點(diǎn)為原點(diǎn),、、為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則、、、,于是,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,從而,令,得.而平面的一個(gè)法向量為.所以二面角的余弦值為,于是二面角的正切值為3.                                      13分
法2:設(shè)與交于點(diǎn),連接.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013603097410.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面,平面,所以,,于是就是二面角的平面角.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013603175389.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面,所以是直角三角形.由∽可得,而,所以,,而,所以,于是,而,于是二面角的正切值為.
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了空間幾何體中線(xiàn)面垂直的證明，以及二面角的平面角的求解，屬于中檔題。