如圖1， 在直角梯形中， ， ，，為線段的中點. 將沿折起，使平面平面，得到幾何體，如圖2所示.
（1）求證:平面；
（2）求二面角的余弦值.   
（1）根據(jù)線面垂直的性質定理來證明線線垂直。
（2）

試題分析：解析：（1）在圖1中， 可得， 從而，
故.
取中點連結， 則， 又面面，
面面， 面， 從而平面.
∴，又， .
∴平面.
（2）建立空間直角坐標系如圖所示，

則， ， ，，
.
設為面的法向量，則即， 解得. 令， 可得.
又為面的一個法向量，∴.
∴二面角的余弦值為.
（法二）如圖，取的中點，的中點，連結.

易知，又，，又，.
又為的中位線，因，，，且都在面內，故，故即為二面角的平面角.
在中，易知；
在中，易知，.
在中.
故.
∴二面角的余弦值為.
點評：主要是考查了運用向量法來空間中的角以及垂直的證明，屬于基礎題。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖,在長方體,中,,點在棱AB上移動.

（Ⅰ）證明:;
（Ⅱ）當為的中點時,求點到面的距離;
（Ⅲ）等于何值時,二面角的大小為.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示,在四棱錐中,底面為矩形,平面,點在線段上,平面.

(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.

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已知正四棱錐P-ABCD的側棱與底面所成角為60°，M為PA中點，連接DM，則DM與平面PAC所成角的大小是________．

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如圖，平面平面，四邊形是正方形，四邊形是矩形，且，是的中點，則與平面所成角的正弦值為（　　　）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在邊長是2的正方體-中，分別為
的中點. 應用空間向量方法求解下列問題.

(1)求EF的長
(2)證明：平面；
(3)證明: 平面.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是線段AD的中點．沿BD將△BCD翻折到△，使得平面⊥平面ABD．

（Ⅰ）求證：平面ABD；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在邊長為4的菱形中，．點分別在邊上，點與點不重合，．沿將翻折到的位置，使平面平面．
（1）求證：平面；
（2）設點滿足，試探究：當取得最小值時，直線與平面所成角的大小是否一定大于？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在棱長為1正方體ABCD-A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點
（1）求直線AM和CN所成角的余弦值；
（2）若P為B1C1的中點，求直線CN與平面MNP所成角的余弦值；
（3）P為B1C1上一點，且，當 B1D⊥面PMN時，求的值.
 

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