Question

如圖，三棱錐P—ABC中，平面PAC⊥平面BAC，AP=AB=AC=2，∠BAC=∠PAC=120°。

（I）求棱PB的長；
（II）求二面角P—AB—C的大小。

Answer 1

（I）（II）

試題分析：（I）如圖1，作PO⊥AC，垂足為O，連結(jié)OB，
由已知得，△POC≌△BOC，則BO⊥AC。
，
 
∵平面PAC⊥平面BAC，∴PO⊥平面BAC，∴PO⊥OB，
 

（II）方法1：如圖1，作OD⊥AB，垂足為D，連結(jié)PD，由三垂線定理得，PD⊥AB。
則∠PDO為二面角P—AB—C的平面角的補(bǔ)角。

二面角P—AB—C的大小為 
方法2：如圖2，分別以O(shè)B，OC，OP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
O—xyz，則

令 
又為面ABC的法向量。  

易知二面角P—AB—C的平面角為鈍角，
故二面角P—AB—C的大小為 

點(diǎn)評(píng)：第二問求二面角分別用了幾何法（作出二面角平面角，計(jì)算大小）和向量法（建立坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，找到兩面的法向量，通過法向量的夾角找到二面角）