【題目】解答
(1)若ax>lnx恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)證明:a>0,x0∈R,使得當(dāng)x>x0時,ax>lnx恒成立.

【答案】
(1)解:若ax>lnx恒成立,

則a> ,在x>0時恒成立,

設(shè)h(x)= ,

則h′(x)= = ,

由h′(x)>0得1﹣lnx>0,即lnx<1,得0<x<e,

由h′(x)<0得1﹣lnx<0,即lnx>1,得x>e,

即當(dāng)x=e時,函數(shù)h(x)取得極大值同時也是最大值h(e)= =

即a>


(2)證明:設(shè)f(x)=lnx,g(x)=ax,(x>0),

則f′(x)= ,當(dāng)g(x)與f(x)相切時,設(shè)切點(diǎn)為(m,lnm),

則切線斜率k=

則過原點(diǎn)且與f(x)相切的切線方程為y﹣lnm= (x﹣m)= x﹣1,

即y= x﹣1+lnm,

∵g(x)=ax,

,得m=e,a=

即當(dāng)a> 時,ax>lnx恒成立.

當(dāng)a= 時,當(dāng)x0 時,

要使ax>lnx恒成立.得當(dāng)x>x0時,ax>lnx恒成立.

當(dāng)0<a< 時,f(x)與g(x)有兩個不同的交點(diǎn),不妨設(shè)較大的根為x1,當(dāng)x0≥x1時,

當(dāng)x>x0時,ax>lnx恒成立.

a>0,x0∈R,使得當(dāng)x>x0時,ax>lnx恒成立.


【解析】(1)首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,(2)先求出當(dāng)直線和y=lnx相切時a的取值,然后進(jìn)行討論求解即可.

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