Question

【題目】（本小題滿分12分）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)，延長交拋物線于點(diǎn)，證明：以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析．

【解析】解法一：（Ⅰ）由拋物線的定義得．

因?yàn)?/span>，即，解得，所以拋物線的方程為．

（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線 上，

所以，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)．

由，可得直線的方程為．

由，得，

解得或，從而．

又，

所以，，

所以，從而，這表明點(diǎn)到直線，的距離相等，

故以為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）設(shè)以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的半徑為．

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線 上，

所以，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)．

由，可得直線的方程為．

由，得，

解得或，從而．

又，故直線的方程為，

從而．

又直線的方程為，

所以點(diǎn)到直線的距離．

這表明以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．