【題目】已知函數(shù), .
(1)令,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若對任意,都有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)時, 在遞增, 遞減; 時, 在遞增;
時, 在和遞增, 遞減; 時, 在和遞增, 遞減;(2).
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的解析式和定義域,求導(dǎo),對實數(shù)分情況討論得出單調(diào)性;(2)若任意 ,都有恒成立。令h(x)= f(x)- g(x),
只需 即可,由(1)中的單調(diào)性,求出的最小值,再求出的范圍。
試題解析:(1)解:h(x)=f(x)-g(x)= ,定義域為
,(x>0)
a0時, >0得x>1; <0得0<x<1.
所以h(x)在(1, )遞增,(0,1)遞減
a=1時, ,所以h(x)在(0, )遞增
0<a<1時, >0得0<x<a,或x>1; <0得a<x<1.所以h(x)在(0,a)和(1, )遞增,(a,1)遞減
a>1時, >0得0<x<1,或x>a; <0得1<x<a. 所以h(x)在(0,1)和(a, )遞增,(1,a)遞減
綜上: a 0時,h(x)在(1, )遞增,(0,1)遞減
a=1時,h(x)在(0, )遞增
0<a<1時,h(x)在(0,a)和(1, )遞增,(a,1)遞減
a>1時,h(x)在(0,1)和(a, )遞增,(1,a)遞減
(2) 若任意 ,都有恒成立。令h(x)= f(x)- g(x),
只需 即可
由(1)知, 時,h(x)在遞增, =h(1)=4-a 0,解得a 4.又,所以 ,
ae時,h(x)在遞減, =h(e)= 解得,又ae,所以 ,1<a<e時,h(x)在遞減, 遞增。=h(a)=a-(a+1)lna-1+3=a+2-(a+1)lna 0
因為 ,所以h(a)在(1,e)遞減。所以,則h(a) 0恒成立,所以1<a<e ,綜上:a .
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)恰有兩個不相同的零點,求實數(shù)的值;
(2)記為函數(shù)的所有零點之和,當(dāng)時,求的取值范圍.
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【題目】某高中有高一新生500名,分成水平相同的兩類教學(xué)實驗,為對比教學(xué)效果,現(xiàn)用分層抽樣的方法從兩類學(xué)生中分別抽取了40人,60人進(jìn)行測試
(1)求該學(xué)校高一新生兩類學(xué)生各多少人?
(2)經(jīng)過測試,得到以下三個數(shù)據(jù)圖表:
圖1:75分以上兩類參加測試學(xué)生成績的莖葉圖
圖2:100名測試學(xué)生成績的頻率分布直方圖
下圖表格:100名學(xué)生成績分布表:
①先填寫頻率分布表中的六個空格,然后將頻率分布直方圖(圖2)補(bǔ)充完整;
②該學(xué)校擬定從參加考試的79分以上(含79分)的類學(xué)生中隨機(jī)抽取2人代表學(xué)校參加市比賽,求抽到的2人分?jǐn)?shù)都在80分以上的概率.
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【題目】在△ABC中,AB=3,AC=4,N是AB的中點,邊AC(含端點)上存在點M,使得BM⊥CN,則cosA的取值范圍為 .
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【題目】【2018河北保定市上學(xué)期期末調(diào)研】已知點到點的距離比到軸的距離大1.
(I)求點的軌跡的方程;
(II)設(shè)直線: ,交軌跡于、兩點, 為坐標(biāo)原點,試在軌跡的部分上求一點,使得的面積最大,并求其最大值.
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【題目】解答
(1)若ax>lnx恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)證明:a>0,x0∈R,使得當(dāng)x>x0時,ax>lnx恒成立.
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【題目】工廠需要圍建一個面積為512的矩形堆料場,一邊可以利用原有的墻壁,其他三邊需要砌新的墻壁.我們知道,砌起的新墻的總長度(單位: )是利用原有墻壁長度(單位: )的函數(shù).
(1)寫出關(guān)于的函數(shù)解析式,確定的取值范圍.
(2)堆料場的長、寬之比為多少時,需要砌起的新墻用的材料最省?
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣4|,g(x)=|2x+1|.
(1)解不等式f(x)<g(x);
(2)若2f(x)+g(x)>ax對任意的實數(shù)x恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,在底面為正方形的四棱錐P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,點E是線段PC的中點.
(1)求異面直線AP與BE所成角的大小;
(2)若點F在線段PB上,使得二面角F-DE-B的正弦值為,求的值.
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