【題目】已知A為橢圓 =1(a>b>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),弦AB,AC分別過左右焦點(diǎn)F1 , F2 , 且當(dāng)線段AF1的中點(diǎn)在y軸上時(shí),cos∠F1AF2= . (Ⅰ)求該橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè) ,試判斷λ12是否為定值?若是定值,求出該定值,并給出證明;若不是定值,請(qǐng)說明理由.

【答案】解:(Ⅰ)當(dāng)線段AF1的中點(diǎn)在y軸上時(shí),AC垂直于x軸,△AF1F2為直角三角形.

因?yàn)閏os∠F1AF2= ,所以|AF1|=3|AF2|,易知|AF2|= ,

由橢圓的定義可得|AF1|+|AF2|=2a,

則4 =2a,即a2=2b2=2(a2﹣c2),即a2=2c2,

即有e= = ;

(Ⅱ)由(Ⅰ)得橢圓方程為x2+2y2=2b2,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(﹣b,0),F(xiàn)2(b,0),

⑴當(dāng)AB,AC的斜率都存在時(shí),設(shè)A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),

則直線AC的方程為y= (x﹣b),代入橢圓方程得

(3b2﹣2bx0)y2+2by0(x0﹣b)y﹣b2y02=0,

可得y0y2=﹣ ,又λ2= = = ,

同理λ1= ,可得λ12=6;

⑵若AC⊥x軸,則λ2=1,λ1= =5,這時(shí)λ12=6;

若AB⊥x軸,則λ1=1,λ2=5,這時(shí)也有λ12=6;

綜上所述,λ12是定值6.


【解析】(Ⅰ)當(dāng)線段AF1的中點(diǎn)在y軸上時(shí),AC垂直于x軸,△AF1F2為直角三角形.運(yùn)用余弦函數(shù)的定義可得|AF1|=3|AF2|,易知|AF2|= ,再由橢圓的定義,結(jié)合離心率公式即可得到所求值;

(Ⅱ)由(Ⅰ)得橢圓方程為x2+2y2=2b2,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(﹣b,0),F(xiàn)2(b,0),(1)當(dāng)AB,AC的斜率都存在時(shí),設(shè)A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),求得直線AC的方程,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,再由向量共線定理,可得λ12為定值6;若AC⊥x軸,若AB⊥x軸,計(jì)算即可得到所求定值.

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