Question

已知sin

x

4

、cos

x

4

是y的方程y²+py+q=0的兩個實根，設(shè)函數(shù)f(x)=p2+2(

3

-1)q-2cos2

x

4

，試問
（1）求f（x）的最值；
（2）f（x）的圖象可由正弦曲線y=sinx經(jīng)過怎樣的變換而得到；
（3）求f（x）的單增區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，求出p，q，利用三角函數(shù)的輔助角公式將函數(shù)進行化簡即可求f（x）的最值；
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象之間的關(guān)系即可；
（3）由三角函數(shù)的單調(diào)性即可求f（x）的單增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵sin

x

4

、cos

x

4

是y的方程y²+py+q=0的兩個實根，
∴sin

x

4

+cos

x

4

=-p，sin

x

4

cos

x

4

=q，
則p²=[-（sin

x

4

+cos

x

4

）]²=1+2sin

x

4

cos

x

4

=1+sin

x

2

，
則f(x)=p2+2(

3

-1)q-2cos2

x

4

=1+sin

x

2

+2（

3

-1）sin

x

4

cos

x

4

-2cos²

x

4

=1+sin

x

2

+（

3

-1）sin

x

2

-（1+cos

x

2

）
=

3

sin

x

2

-cos

x

2

=2sin（

x

2

-

π

6

），
則f（x）的最大值為2，最小值為-2；
（2）將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

π

6

個單位得到y(tǒng)=sin（x-

π

6

）；
然后圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)=sin（

x

2

-

π

6

），
最后；象上所有點的橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)=sin2（

x

2

-

π

6

）．
（3）由2kπ-

π

2

≤

x

2

-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得4kπ-

2π

3

≤x≤4kπ+

4π

3

，k∈Z，
故f（x）的單增區(qū)間為[4kπ-

2π

3

，4kπ+

4π

3

]，k∈Z．

點評：本題主要考查三角函數(shù)解析式的化簡，以及三角函數(shù)圖象之間的變換關(guān)系，以及三角函數(shù)單調(diào)性的求解，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．