Question

如圖，AP是圓O的切線，A是切點，AD⊥OP與D點，過點P作圓O的割線與圓O相交于B，C兩點
（Ⅰ）證明：O，D，B，C四點共圓．
（Ⅱ）設∠OPC=30°，∠ODC=40°，求∠DBC的大�。�

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段,圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定

專題：綜合題,立體幾何

分析：（Ⅰ）利用射影定理，可得AP²=PD•PO，利用切割線定理，AP²=PB•PC，從而可證明△DPB∽△CPO，可得∠PDB=∠PCO，即可證明O，D，B，C四點共圓；
（Ⅱ）連接OB，O，D，B，C四點共圓，求出∠PDB=∠OCB=50°，即可求∠DBC的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：∵AP是圓O的切線，A是切點，
∴OA⊥AP，
∵AD⊥OP，
∴AP²=PD•PO，
∵AP是圓O的切線，PBC是圓O的割線，
∴AP²=PB•PC，
∴PD•PO=PB•PC，
∴

PD

PC

=

PB

PO

，
∵∠DPB=∠CPO，
∴△DPB∽△CPO，
∴∠PDB=∠PCO，
∴O，D，B，C四點共圓．
（Ⅱ）解：連接OB，則∠OBC=∠ODC=40°，
∴∠OCB=50°，
∵O，D，B，C四點共圓，
∴∠PDB=∠OCB=50°，
∴∠DBC=30°+50°=80°．

點評：本題考查圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定，考查三角形相似的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．