【題目】(本小題滿分14分)

已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷,定義:

,

其中,表示函數(shù)上的最小值,表示函數(shù)上的最大值.若存在最小正整數(shù),使得對(duì)任意的成立,則稱函數(shù)上的階收縮函數(shù)

)若,試寫出,的表達(dá)式;

)已知函數(shù),,試判斷是否為上的階收縮函數(shù),如果是,求出對(duì)應(yīng)的;如果不是,請(qǐng)說明理由;

)已知,函數(shù)上的2階收縮函數(shù),求的取值范圍.

【答案】解:(1)由題意可得:,。

2,,

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

綜上所述,。

即存在,使得[-1,4]上的“4階收縮函數(shù)。

3,令。

函數(shù)的變化情況如下:

x


0


2



-

0

+

0

-



0


4


i)當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,因此,,。因?yàn)?/span>上的二階收縮函數(shù),所以,

對(duì)恒成立;

存在,使得成立。

即:對(duì)恒成立,由解得

要使對(duì)恒成立,需且只需。

即:存在,使得成立。

解得

所以,只需。

綜合①②可得。

i i)當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

因此,,

顯然當(dāng)時(shí),不成立。

i i i)當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因此,,,

顯然當(dāng)時(shí),不成立。

綜合(i)(i i)(i i i)可得:

【解析】

試題(1)根據(jù)的最大值可求出,的解析式;(2)根據(jù)函數(shù)上的值域,先求出的解析式,再根據(jù)求出k的取值范圍得到答案.(3)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而寫出,的解析式,然后再由求出k的取值范圍.

試題解析:

(1)由題意可得:,,,.

(2),

當(dāng)時(shí),,∴,;

當(dāng)時(shí),,∴,∴

當(dāng)時(shí),,∴

綜上所述,.即存在,使得上的“4階收縮函數(shù)”.

(3),令.函數(shù)的變化情況如下:

.

(1)當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,因此,,.因?yàn)?/span>上的“二階收縮函數(shù)”,所以,

,對(duì)恒成立;

②存在,使得成立.

①即:對(duì)恒成立,由解得.

要使對(duì)恒成立,需且只需.

②即:存在,使得成立.

解得.所以,只需.

綜合①②可得

(2)當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因此,,,顯然當(dāng)時(shí),不成立,

(3)當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因此,,,,顯然當(dāng)時(shí),不成立.

綜合(1)(2)(3)可得:.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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積極參加班級(jí)工作

不積極參加班級(jí)工作

合計(jì)

學(xué)習(xí)積極性高

18

7

25

學(xué)習(xí)積極性不高

6

19

25

合計(jì)

24

26

50

(1)如果隨機(jī)調(diào)查這個(gè)班的一名學(xué)生,那么抽到不積極參加班級(jí)工作且學(xué)習(xí)積極性不高的學(xué)生的概率是多少?

(2)若不積極參加班級(jí)工作且學(xué)習(xí)積極性高的7名學(xué)生中有兩名男生,現(xiàn)從中抽取2名學(xué)生參加某項(xiàng)活動(dòng),問2名學(xué)生中有1名男生的概率是多少?

(3)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度是否有關(guān)系?請(qǐng)說明理由.

附:

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2)當(dāng)時(shí),證明:;

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1)若,求的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

2)若,,證明:,.

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②橢圓的離心率為,則

③雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離是

④已知拋物線上兩點(diǎn)(是坐標(biāo)原點(diǎn)),則

以上命題正確的是( )

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