Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值;

（2）當時，證明：;

（3）設(shè)函數(shù)的圖象與直線的兩個交點分別為，，的中點的橫坐標為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）取得極大值，沒有極小值（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)極值的定義，即可求解函數(shù)的極值；

（2）由，整理得整理得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．

（3）不妨設(shè)，由（1）和由（2），得，利用單調(diào)性，即可作出證明．

（1）由題意，函數(shù)，則，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以當時，取得極大值，沒有極小值;

（2）由得

整理得，

設(shè)，

則，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，即，

從而有．

（3）證明：不妨設(shè)，由（1）知，則，

由（2）知，

由在上單調(diào)遞減，所以，即，

則，所以.