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【題目】已知函數 .

（Ⅰ）當時，求的圖象在處的切線方程；

（Ⅱ）若函數有兩個不同零點， ，且，求證： ，其中是的導函數.

【答案】（Ⅰ）y＝2x－1；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】試題分析：（I）利用導數的幾何意義即可得出的圖象在處的切線方程；（Ⅱ）由于的圖象與軸交于兩個不同的點， ，可得方程的兩個根為， ，得到，可得，經過變形只要證明，通過換元再利用導數研究其單調性即可得出．

試題解析：（Ⅰ）當時， ， ，切點坐標為，切線的斜率，∴切線方程為，即．

（Ⅱ）∵的圖象與軸交于兩個不同的點， ，∴方程的兩個根為， ，則，兩式相減得，又， ，則，下證（*），即證明，令，∵，∴，即證明在上恒成立，∵，又，∴，∴在上是增函數，則，從而知，故（*）式，即成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，.

（1）求證：平面平面；

（2）若，為的中點，為棱上的點，平面，求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過且垂直于軸的焦點弦的弦長為，過的直線交橢圓于，兩點，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線，互相垂直，直線過且與橢圓交于點，兩點，直線過且與橢圓交于，兩點.求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數 的部分圖象如圖所示。

（1）求函數的解析式；

（2）設，且方程有兩個不同的實數根，求實數的取值范圍和這兩個根的和

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知甲同學每投籃一次，投進的概率均為.

（1）求甲同學投籃4次，恰有3次投進的概率；

（2）甲同學玩一個投籃游戲，其規(guī)則如下：最多投籃6次，連續(xù)2次不中則游戲終止.設甲同學在一次游戲中投籃的次數為，求的分布列.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分14分）

已知函數的圖象在上連續(xù)不斷，定義：

，

．

其中，表示函數在上的最小值，表示函數在上的最大值．若存在最小正整數，使得對任意的成立，則稱函數為上的“階收縮函數”．

（Ⅰ）若，，試寫出，的表達式；

（Ⅱ）已知函數，，試判斷是否為上的“階收縮函數”，如果是，求出對應的；如果不是，請說明理由；

（Ⅲ）已知，函數是上的2階收縮函數，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.滿足2acosC+bcosC+ccosB=0.

(Ⅰ)求角C的大��；

(Ⅱ)若a=2,△ABC的面積為，求C的大小。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，，.

（Ⅰ）若，求的極值；

（Ⅱ）若函數的兩個零點為，記，證明：．

【答案】（Ⅰ）極大值為，無極小值；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）先判斷函數在上的單調性，然后可得當時，有極大值，無極小值．（Ⅱ）不妨設，由題意可得，即，又由條件得，構造，令，則，利用導數可得，故得，又，所以．

詳解：（Ⅰ），

，

由得，

且當時，，即在上單調遞增，

當時，，即在上單調遞減，

∴當時，有極大值，且，無極小值．

（Ⅱ）函數的兩個零點為，不妨設，

，．

，

即，

又，，

，

．

令，則

，

在上單調遞減，

故，

，

即，

又，

．

點睛：（1）研究方程根的情況，可以通過導數研究函數的單調性、最大（小）值、函數的變化趨勢等，根據題目要求，畫出函數圖象的大體圖象，然后通過數形結合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現．

（2）證明不等式時常采取構造函數的方法，然后通過判斷函數的單調性，借助函數的最值進行證明．

【題型】解答題
【結束】
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【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數，）．以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為：．

（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）設直線與曲線交于不同的兩點，若，求的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某校在學年期末舉行“我最喜歡的文化課”評選活動，投票規(guī)則是一人一票，高一（1）班44名學生和高一（7）班45名學生的投票結果如下表（無廢票）：

語文

數學

外語

物理

化學

生物

政治

歷史

地理

高一（1）班

6

9

7

5

4

5

3

3

2

高一（7）班

6

4

5

6

5

2

3

該校把上表的數據作為樣本，把兩個班同一學科的得票之和定義為該年級該學科的“好感指數”.

（Ⅰ）如果數學學科的“好感指數”比高一年級其他文化課都高，求的所有取值；

（Ⅱ）從高一（1）班投票給政治、歷史、地理的學生中任意選取位同學，設隨機變量為投票給地理學科的人數，求的分布列和期望；

（Ⅲ）當為何值時，高一年級的語文、數學、外語三科的“好感指數”的方差最小?（結論不要求證明）

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