奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)有最小值,又f(1)=3.
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)設(shè)g(x)=xf(x),正數(shù)數(shù)列{an}中,a1=1,an+12=g(an),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè),數(shù)列{bn}中b1=m(m>0),bn+1=h(bn)(n∈N*).是否存在常數(shù)m使bn•bn+1>0對任意n∈N*恒成立.若存在,求m的取值范圍,若不存在,說明理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)f(1)=3,以及f(x)為奇函數(shù)可求出b的值,然后根據(jù)當(dāng)x>0時,f(x)有最小值,可求出c的值,從而求出函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)an+12=g(an)可證得{an2+1}為等比數(shù)列,其首項(xiàng)為a12+1=2,公比為2,從而求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)假設(shè)存在正實(shí)數(shù)m,對任意n∈N*,使bn•bn+1>0恒成立,然后根據(jù)放縮法可得,取n>1+b12,即n>m2+1時,有bn<0與bn>0矛盾,從而得到結(jié)論.
解答:解(1);
∵是奇函數(shù);

又可知和不能同時為0
故b=0
a+b+1=3c+3d,


當(dāng)x>0時,f(x)有最大值


(2)∵g(x)=2x2+1
∴an+12=2an2+1⇒an+12+1=2(an2+1)
∴{an2+1}為等比數(shù)列,其首項(xiàng)為a12+1=2,公比為2
∴an2+1=(a12+1)•2n-1=2n
(3)由題

假設(shè)存在正實(shí)數(shù)m,對任意n∈N*,使bn•bn+1>0恒成立.
∵b1=m>0
∴bn>0恒成立.




取n>1+b12,即n>m2+1時,有bn<0與bn>0矛盾.
因此,不存在正實(shí)數(shù)m,使bn•bn+1>0對n∈N*恒成立.
點(diǎn)評:本題主要考查了函數(shù)的解析式,以及函數(shù)的奇偶性和恒成立問題,同時考查了數(shù)列的綜合運(yùn)用,屬于中檔題.
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已知函數(shù)y=f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)+x•f′(x)>0(其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù))恒成立.若a=(ln
1
e2
)•f(ln
1
e2
)
,b=
2
•f(
2
)
,c=lg5•f(lg5),則a,b,c的大小關(guān)系是( 。

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(-∞,
671
2
)
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671
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)

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設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)+xf′(x)>0,若f(3)=5,且當(dāng)x∈(-∞,-a)∪(a,+∞),a>0時,不等式|f(x)|>
15|x|
恒成立,則a的取值范圍是
a≥3
a≥3

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已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時,f(x)=1+2x,
(1)求其在R上的解析式;
(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象,并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

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