設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在正實數(shù)k,使對任意x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,則稱函數(shù)f(x)為D上的“k型增函數(shù)”.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)=|x-a|-2a,若f(x)為R上的“2013型增函數(shù)”,則實數(shù)a的取值范圍是
(-∞,
671
2
)
(-∞,
671
2
)
分析:利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得f(x)的解析式,再利用新定義對x分類討論和絕對值的意義即可得出.
解答:解:∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(0)=0.
設(shè)x<0,則-x>0.∴f(-x)=|-x-a|-2a=|x+a|-2a,
∴f(x)=-f(-x)=-|x+a|+2a.
f(x)=
|x-a|-2a,x>0
0,x=0
-|x+a|+2a,x<0

分類討論:
①當(dāng)x>0時,由f(x+2013)>f(x),可得|x+2013-a|-2a>|x-a|-2a,化為|x-(a-2013)|>|x-a|,由絕對值的幾何意義可得a+a-2013<0,解得a<
2013
2

②當(dāng)x<0時,由f(2013+x)>f(x),
分為以下兩類研究:當(dāng)x+2013<0時,可得-|x+2013+a|+2a>-|x+a|+2a,化為|x+2013+a|<|x+a|,由絕對值的幾何意義可得-a-a-2013>0,解得a<
2013
2

當(dāng)x+2013>0,|x+2013-a|-2a>-|x+a|+2a,化為|x+2013-a|+|x+a|≥|2013-2a|>4a,a≤0時成立;當(dāng)a>0時,a<
2013
6
,因此可得a<
2013
6
=
671
2

③當(dāng)x=0時,由f(2013)>f(0)可得|2013-a|-2a>0,當(dāng)a≤0時成立,當(dāng)a>0時,a<671.
綜上可知:a的取值范圍是a<
671
2

故答案為(-∞,
671
2
)
點評:本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)、新定義、分類討論和絕對值的意義等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.
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3
2
)與b=f(
15
2
)的大小關(guān)系為
a>b
a>b

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1
4
]
時,f(x)≥2x恒成立.則f(
3
7
)+f(
5
9
)
=
1
1

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