Question

【題目】如圖，已知四棱柱的底面是正方形，側面是矩形，，為的中點，平面平面.

（1）證明：平面；

（2）判斷二面角是否為直二面角，不用說明理由；

（3）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）是；（3）.

【解析】

（1）連接、、，平面即為平面，推導出，，，由此能證明平面；

（2）二面角是直二面角；

（3）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法能求出二面角的大小．

（1）連接，，.

平面即為平面，底面是正方形，.

又平面平面，平面平面，平面，

平面，又平面，，

側面是矩形，，

又，平面，平面，平面；

（2）二面角為直二面角；

（3）由（1）可知，，，，

故以為坐標原點，方向為軸正方向，為單位長度，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，，，

所以，，設平面的法向量為，

則，令，則，，則，

由（1）知，平面，所以，是平面的一個法向量，

于是，

由（2）知二面角的平面角為鈍角，所以二面角的大小為.