【題目】設(shè)函數(shù)y=f(x)在[﹣3,3]上是奇函數(shù),且對(duì)任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,f(1)=﹣2:
(Ⅰ)求f(2)的值;
(Ⅱ)判斷f(x)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)求不等式f(x﹣1)>4的解集.

【答案】解:(Ⅰ)在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=1得:f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)=﹣4.

(Ⅱ)結(jié)論:函數(shù)f(x)在[﹣3,3]上是單調(diào)遞減的,證明如下:

任取﹣3≤x1<x2≤3,

則f(x2)﹣f(x1)=f(x1+x2﹣x1)﹣f(x1)=f(x1)+f(x2﹣x1)﹣f(x1)=f(x2﹣x1),

∵x1<x2,x2﹣x1>0,f(x2﹣x1)<0,即f(x2)<f(x1),

故函數(shù)f(x)在[﹣3,3]上是單調(diào)遞減.

(Ⅲ)由于f(2)=﹣4,

∴不等式f(x﹣1)>4等價(jià)于f(x﹣1)>﹣f(2)=f(﹣2),

又∵函數(shù)f(x)在[﹣3,3]上是單調(diào)遞減,

,解得﹣2≤x<﹣1,

故原不等式的解集為[﹣2,﹣1).


【解析】(1)在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,代入即可解得f(2)的值,(2)函數(shù)f(x)在[﹣3,3]上是單調(diào)遞減的,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行設(shè)值,著差判斷出單調(diào)性,(3)由于f(2)=﹣4,不等式f(x﹣1)>4等價(jià)于f(x﹣1)>﹣f(2)=f(﹣2),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出不等式組,即可解得原不等式的解集.

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